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1、文科导数题型归纳文科导数题型归纳请同学们高度重视：请同学们高度重视： 首先，首先，关于二次函数的不等式关于二次函数的不等式恒成立恒成立的主要解法：的主要解法： 1、分离变量；、分离变量；2 变更主元；变更主元；3 根分布；根分布；4 判别式法判别式法 5、二次函数区间最值求法：（、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在）端点处和顶点是最值所在其次，其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问不等式恒成立问 题题”以及以及“充分应用数形结合思
2、想充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令第一步：令得到两个根；得到两个根；0)(xf 第二步：画两图或列表；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；第三步：由图表可知；其中其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，不等式恒成立问题
3、的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0） 第二种：变更主元第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元已知谁的范围就把谁作为主元） ； （请同学们参看（请同学们参看 2010 省统测省统测 2） 例例 1：设函数：设函数在区间在区间 D 上的导数为上的导数为，在区间在区间 D 上的导数为上的导数为，若在区间，若在区间 D( )yf x( )fx( )fx( )g x上，上，恒
4、成立，则称函数恒成立，则称函数在区间在区间 D 上为上为“凸函数凸函数” ，已知实数，已知实数 m 是常数，是常数，( )0g x ( )yf x4323( )1262xmxxf x （1）若）若在区间在区间上为上为“凸函数凸函数” ，求，求 m 的取值范围；的取值范围；( )yf x0,3（2）若对满足）若对满足的任何一个实数的任何一个实数，函数，函数在区间在区间上都为上都为“凸函数凸函数” ，求，求的最的最2m m( )f x, a bba大值大值.解解:由函数由函数 得得 4323( )1262xmxxf x 32 ( )332xmxfxx2( )3g xxmx（1） 在区间在区间上为上
5、为“凸函数凸函数” ，( )yf xQ0,3则则 在区间在区间0,3上恒成立上恒成立 2( )30g xxmx解法一：从解法一：从二次函数的区间最值二次函数的区间最值入手：等价于入手：等价于max( )0gx (0)0302(3)09330gmgm 解法二：解法二：分离变量法：分离变量法： 当当时时, 恒成立恒成立,0x 2( )330g xxmx 当当时时, 恒成立恒成立03x2( )30g xxmx等价于等价于的最大值（的最大值（）恒成立，）恒成立，233xmxxx03x而而（）是增函数，则）是增函数，则3( )h xxx03xmax( )(3)2hxh2m(2)当当时时在区间在区间上都为
6、上都为“凸函数凸函数” 2m ( )f x, a b则等价于当则等价于当时时 恒成立恒成立 2m 2( )30g xxmx变更主元法变更主元法再等价于再等价于在在恒成立恒成立（视为关于（视为关于 m 的一次函数最值问题）的一次函数最值问题）2( )30F mmxx2m 22( 2)023011(2)0230FxxxFxx 2ba 请同学们参看请同学们参看 2010 第三次周考：第三次周考：例例 2：设函数：设函数), 10(3231)(223Rbabxaaxxxf（）求函数）求函数 f（x）的单调区间和极值；）的单调区间和极值；（）若对任意的）若对任意的不等式不等式恒成立，求恒成立，求 a 的
7、取值范围的取值范围. ,2, 1aax( )fxa（二次函数区间最值的例子）（二次函数区间最值的例子）解：（解：（）22( )433fxxaxaxaxa 01aQ令令得得的单调递增区间为（的单调递增区间为（a,3a）, 0)( xf)(xf令令得得的单调递减区间为（的单调递减区间为（，a）和（）和（3a，+）, 0)( xf)(xf当当 x=a 时，时，极小值极小值=当当 x=3a 时，时，极大值极大值=b. )(xf;433ba )(xf（）由）由|a，得：对任意的，得：对任意的恒成立恒成立)(xf ,2, 1aax2243axaxaa 则等价于则等价于这个二次函数这个二次函数 的对称轴的对
8、称轴 ( )g xmaxmin( )( )gxagxa 22( )43g xxaxa2xa-223aa( )f xa3a（放缩法）（放缩法）01,aQ12aaaa 即定义域在对称轴的右边，即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。( )g x上是增函数上是增函数. （9 分）分）22( )431,2g xxaxaaa、maxmin( )(2)21.( )(1)44.g xg aag xg aa 于是，对任意于是，对任意，不等式，不等式恒成立，等价于恒成立，等价于2, 1aax(2)44,41.(1)215g aaaag
9、aaa 、又又, 10 a. 154 a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值第三种：构造函数求最值 题型特征：题型特征：恒成立恒成立恒成立；从而转化为恒成立；从而转化为第一、二种题第一、二种题)()(xgxf0)()()(xgxfxh 型型例例 3；已知函数；已知函数图象上一点图象上一点处的切线斜率为处的切线斜率为，32( )f xxax(1, )Pb3326( )(1)3(0)2tg xxxtxt（）求）求的值；的值；, a b（）当）当时，求时，求的值域；的值域； 1,
10、4x ( )f x（）当）当时，不等式时，不等式恒成立，求实数恒成立，求实数 t 的取值范围。的取值范围。1,4x( )( )f xg x解：（解：（）， 解得解得 /2( )32fxxax/(1)3 1f ba 3 2a b （）由（）由（）知，）知，在在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减上单调递减( )f x 1,00,22,4又又 ( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff 的值域是的值域是( )f x 4,16（）令）令2( )( )( )(1)31,42th xf xg xxtxx 思路思路 1：要使：要使恒成立，只需恒成立，只需，即，即分离变
11、量分离变量( )( )f xg x( )0h x 2(2 )26t xxx 思路思路 2：二次函数区间最值：二次函数区间最值二、题型一：二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法解法 1：转化为转化为在给定区间上恒成立，在给定区间上恒成立， 回归基础题型回归基础题型0)(0)(xfxf或 解法解法 2：利用子区间（即子集思想）利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集；所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚做题时一定要看清楚“在（在（
12、m,n）上是减函数）上是减函数”与与“函数的单调减区间是（函数的单调减区间是（a,b） ” ，要弄清楚，要弄清楚 两句话的区别：前者是后者的子集两句话的区别：前者是后者的子集2xa1,2aa例例 4：已知：已知，函数，函数Raxaxaxxf) 14(21 121)(23（）如果函数）如果函数是偶函数，求是偶函数，求的极大值和极小值；的极大值和极小值；)()(xfxg)(xf（）如果函数）如果函数是是上的单调函数，求上的单调函数，求的取值范围的取值范围)(xf),(a解：解：. . ) 14() 1(41)(2axaxxf（） 是偶函数，是偶函数， . . 此时此时， ( )fx1axxxf31
13、21)(3341)(2xxf令令，解得：，解得：. . 0)( xf32x列表如下：列表如下：x(,2)323(2,2)3323(2,+)3)(xf +00+)(xf递增递增极大值极大值递减递减极小值极小值递增递增可知：可知：的极大值为的极大值为， 的极小值为的极小值为. . ( )f x34)32(f( )f x34)32(f（）函数函数是是上的单调函数，上的单调函数，)(xf),(，在给定区间在给定区间 R 上恒成立上恒成立判别式法判别式法21( )(1)(41)04fxxaxa则则 解得：解得：. . 221(1)4(41)204aaaa ，02a综上，综上，的取值范围是的取值范围是. . a20 aa例例 5、已知函数、已知函数3211( )(2)(1) (0).32f xxa xa x a（I）求）求的单调区间；的单调区间；( )f x（II）若）若在在0，1上单调递增，上单调递增，求求 a 的取值范围。的取值范围。子集思想子集思想( )f x（I）2( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa
