《生物数学模型参数估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《生物数学模型参数估计（99页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、生物数学模型参数估计生物数学模型参数估计 陕西师范大学陕西师范大学 数学与信息科学学院数学与信息科学学院 唐三一唐三一 2015年年7月月16日日 2014年广东省年广东省Dengue疫情数据疫情数据 05000100001500020000250003000035000400004500013579111315171921232527293133353739414345474951535557广州新增病例 广州累计病例 广东新增病例 广州累计病例 新增住院 现住院病例 累计住院病例 累计治愈出院 疫情数据与实际问题的解决疫情数据与实际问题的解决 基本再生数是多大？基本再生数是多大？Basic
2、 reproduction number 疫情的峰值及其达峰时间是什么？疫情的峰值及其达峰时间是什么？Peak size and peak time 到底有多少人会染病？到底有多少人会染病？ Final Size 如何评估控制措施的有效性？如何评估控制措施的有效性？ 什么样的控制措施是最有效的？什么样的控制措施是最有效的？ 疫情数据与实际问题的解决疫情数据与实际问题的解决 Time Number of pests pest population time to treat time to treat EIL ET Time1 Time2 Economic Injury Level (EIL)
3、= lowest population density that will cause economic damage. Economic Threshold (ET) = population density at which control measures should be invoked to prevent an increasing pest population from reaching the economic injury level. 综合害虫治理与最优经济阈值估计综合害虫治理与最优经济阈值估计 小区小区 1 2 3 4 5 6 7 阈值 （头/ 百株） 1 2 5 1
4、0 20 40 60 0102030405060708090南1 南2 南3 南4 南5 南6 南7 2012年南边七个小区的盲蝽种群动态图年南边七个小区的盲蝽种群动态图 0204002040020400204002040020406080May 28 Jun 2 Jun 7 Jun 12 Jun 17 Jun 22 Jun 27 Jul 2 Jul 7 Jul 12 Jul 17 Jul 22 Jul 27 Aug 1 Aug 6 Aug 11 Aug 16 Aug 21 Aug 26 Aug 31 Sep 502040608012012 Middle 2012North 2012South
5、 Action thresholdab2c5d10e20gf4060在防治虫量为在防治虫量为 1(a)、2(b)、 5(c)、10(d)、 20(e)、40(f)、 60(g)头头/百株下百株下 小区内盲蝽的种小区内盲蝽的种 群动态。注：黑群动态。注：黑 虚线为防治虫虚线为防治虫 量，超过了该虫量，超过了该虫 量即打药防虫。量即打药防虫。 010203040506060708090100110010203040506002468101202468101260708090100110BYield (kg)Treatment(No. of insects)ANumber of sprayTreat
6、ment (No. of insects)C2012 Middle 2013 south 2013 Middle 2013 NorthYield(kg)Number of Spray设定的防控虫量、棉田小区产量及打药次数设定的防控虫量、棉田小区产量及打药次数 之间的关系之间的关系 01234501020304050607080901001101200510036904812160102005 10 15 20 25 307月12日棉枝顶端受害花蕾总数p=0.5847月17日 p=0.305p=0.1127月22日小区实际调查的虫量p=0.0057月27日 p=0.0008月2日p=0.0028
7、月7日0 10 20 30 40 50 600102030405060708090100204060800 10203040506070102030048121602468 10 12p=0.01578月11日棉枝顶端花蕾受害总数p=0.0118月16日p=0.0158月21日实际调查的虫量p=0.00258月26日p=0.0428月31日 p=0.0009月5日2012年每小区棉株顶端花蕾受害总数与小区内实际调查到的虫年每小区棉株顶端花蕾受害总数与小区内实际调查到的虫 量之间的关系（量之间的关系（21个小区图中共个小区图中共21个点）个点） 常用数学软件常用数学软件 常用参数估计方法及其简单
8、程序实现常用参数估计方法及其简单程序实现 绪论绪论 Bayes公式和线性回归模型公式和线性回归模型 最小二乘法最小二乘法 极大似然估计极大似然估计 Gibbs抽样技术抽样技术 Metropolis-Hastings算法算法 MCMC 单种群生物动力系统单种群生物动力系统， 科学科学出版社，出版社，20082008。 552552页，页，6767万万字字 唐三一，肖燕妮唐三一，肖燕妮 生物数学进阶生物数学进阶 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 肖燕妮，周义仓，唐三一肖燕妮，周义仓，唐三一 参考书目参考书目 参考书目参考书目 绪论绪论 参数估计参数估计: 利用已知的实验观测数据并结合数学模型来
9、估计模型利用已知的实验观测数据并结合数学模型来估计模型 中的未知参数中的未知参数, , 是统计推断的基本问题之一是统计推断的基本问题之一. . 参数估计的两种方法参数估计的两种方法 点估计点估计:是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参 数的函数数的函数. . 其常见方法有其常见方法有: : 最小二乘法、极大似然估计法、贝叶斯估计法最小二乘法、极大似然估计法、贝叶斯估计法 区间估计区间估计: 是依据抽取的样本是依据抽取的样本, , 根据一定的正确度与精确度根据一定的正确度与精确度 的要求的要求, , 构造出适当的区间构造出适当的区间, , 作
10、为总体分布的未知参数或参作为总体分布的未知参数或参 数的函数的真值所在范围的估计数的函数的真值所在范围的估计. . 其常见方法有其常见方法有: : 利用利用已知的抽样分布、利用区间估计与假设检验的联系已知的抽样分布、利用区间估计与假设检验的联系、 利用利用大样本理论大样本理论 1. Bayes公式和线性回归模型公式和线性回归模型 1.1. Bayes公式和似然函数公式和似然函数 1.2. 一元线性回归模型一元线性回归模型 1.3. 多元线性回归模型多元线性回归模型 1.4. Bayes线性模型线性模型 1.1. Bayes公式和公式和似然函数似然函数 对某个物种具有年的统计观测数据,记为 =
11、(1,2,) 我 们希望利用这组统计数据估计该种群的内禀增长率和环境容纳 量等 个未知参数,记作 = (1,2,),即在给定的条件下如 何确定的问题,也就是在发生的条件下 中各个参数值可能性 大小的问题,记作(|).在参数估计中,通常知道未知参数服从某 个分布比如正态分布或Gamma分布等,它是在不知道事件是否 发生的情况下对未知参数可能性大小的认识,记作 ().这样利 用Bayes公式得到 (|) ( )(|)(1.1)( )p YppYp Y=1.1. Bayes公式和公式和似然函数似然函数 在公式(1.1)中()称作先验概率(prior distribution),(|)称为后 验概率(
12、posterior distribution), ()边缘密度函数.公式(1.1)综合 了先验信息与实验提供的新信息(新的观测统计数据),并反映了 先验分布向后验分布的转化. 通常情况下参数是参数空间上的一个随机变量,这样样本 的分布族应理解为条件分布族,即不论是连续随机变量还是离散 随机变量, 都可表示为依赖参数的条件密度函数 (|), 其中 = (1,2,)为依赖的统计观测值. 根据公式(1.1)可以看 出, 统计观测值的产生要分成两步: 第一步第一步: : 设想从先验分布()产生一个样本参数, 这一步是不 知道的, 只能从人们对参数分布 ()的了解和经验判断得到. 1.1. Bayes公
13、式和公式和似然函数似然函数 第二步第二步: : 根据取样的参数值 , 从总体分布p()产生一个样 本. 这一步是具体的, 人们能够推断的,可理解为对于给定的 参数求解模型,模型的解在给定时刻上的值即为样本. 根据联合密度概率公式, 此样本发生的概率为 公式(1.2)综合了总体信息和样本信息, 常称为似然函数 下面给出一个关于似然函数的例子. 1(|)(|).(1.2)ni ip Yp y= =(|)(|).(1.3)L Yp Y 1.1. Bayes公式和似然函数公式和似然函数 例例1.1. 考虑对一个物种密度或数量的次统计, 假设每一次统 计误差 服从正态分布 (0,2),其中统计精度2是未
14、知的参数. 此时= + = 1,2, 样本分布的似然函数 样本参数是设想出来并由先验分布()随机取样的. 因 此不仅要考虑, 还需要结合先验信息, 即对 的一切可能取样加 以考虑, 此时样本 和参数 的联合分布为 22 2 11(| )( |) ( )exp()( ,).(1.4)2n n i ipYL Ypyp = (|) ( ).(1.5)p Yp1.1. Bayes公式和似然函数公式和似然函数 在给定先验分布和样本分布以后, 可以根据 Bayes公式 (1.1)计算 后验分布(|). 由于对于所有可能的 值, 边缘密度函数(). 与没有关系, 即相对于来说, ()是一个常数. 因此在计算后 验
