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1、高考数学必胜秘诀（高考数学必胜秘诀（2） 函函 数数1.映射映射f: : A AB B 的概念的概念。在理解映射概念时要注意：理解映射概念时要注意：A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（如（1 1）设:fMN是集合M到 N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个 元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中 所在元素的象的集合（答：A） ；（2 2）点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则在f作用下点) 1 , 3(的原象为点_（答：（2，1） ） ；（3 3）若4 , 3 , 2 ,
2、 1A， ,cbaB ，, ,a b cR，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到 B的函数有 个（答：81,64,81） ；（4 4）设集合 1,0,1,1,2,3,4,5MN ，映射 :fMN满足条件“对任意的xM，( )xf x是奇数” ，这样的映射f有_个（答：12） ；（5 5）设2:xxf是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则BA一定是_（答：或1）. 2.函数函数f: : A AB B 是特殊的映射是特殊的映射。特殊在定义域定义域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集都是非空数集！据此可知 函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没
3、有，也可能有任 意个。如（如（1 1）已知函数( )f x，xF，那么集合 ( , )|( ),( , )|1x yyf x xFx yx中所含元素的个数有 个（答： 0 或 1） ；（2 2）若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间2 , 2b，则b （答：2） 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函 数数。如如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数” ，那么解析式为2yx，值域
4、为4，1的“天一函数”共有_个（答：9）4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a ，三角形中0A, 最大角3，最小角3等。如（如（1 1）函数 24lg3xxy x 的定义域是_(答：(0,2)(2,3)(3,4)；（2 2）若函数27 43kxykxkx的定义域为 R，则k_(答：30,4)；（3 3）函数( )f x的定义域是 , a b，0ba ，则函数( )( )()F xf xfx的定义域是_(答： ,aa)；（4 4）设函数
5、2( )lg(21)f xaxx，若( )f x的定义域是 R，求实数a的取值范围；若( )f x的值域是 R，求实数a的取值范围（答：1a ；01a）（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知( )f x的定义域为 , a b,其复合函数 ( )f g x的定义域由不等式( )ag xb解出即可；若已知 ( )f g x的定义域为 , a b,求( )f x的定义域，相当于当 , xa b时，求( )g x的值域（即( )f x的定义域） 。如（如（1 1）若函数)(xfy 的定义域为 2 ,21，则)(log2xf的定义域为_（答：42| xx） ；（2 2）
6、若函数2(1)f x 的定义域为 2,1)，则函数( )f x的定义域为_（答：1,5） 5.求函数值域（最值）的方法： （1）配方法配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 , m n上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问二次函数的最值问 题，勿忘数形结合题，勿忘数形结合，注意“两看两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ，如（如（1 1）求函数225, 1,2yxxx 的值域（答：4,8） ；（2 2）当2 , 0( x时，函数3) 1(4)(2 xaaxxf在2 x时取得最大值，则a的取值范围是_（答：21
7、a） ；（3 3）已知( )3(24)x bf xx的图象过点（2,1） ，则1212( )( )()F xfxfx的值域为_（答：2, 5） （2）换元法换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（如（1 1）22sin3cos1yxx的值域为_（答：17 4,8） ；（2 2）211yxx 的值域为_（答：(3,)） （令1xt ，0t 。运用换元法时，要特别要注意新元运用换元法时，要特别要注意新元t的范围的范围） ；（3 3）sincossincosyxxxxA的值域为_（答：1 1,22） ；（4 4）249yxx的值域
8、为_（答：1,3 24） ； （3）函数有界性法函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如如求函数2sin1 1siny ，3 1 3xxy ，2sin1 1cosy 的值域（答： 1(, 2、 （0,1） 、3(, 2） ；（4）单调性法单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如如求1(19)yxxx，2 29sin1 sinyxx，5 32log1xyx的值域为_（答：80(0,)9、11,92、2,10） ；（5）数形结合法数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线
9、斜率、等等，如（如（1 1）已知点( , )P x y在圆221xy上，求2y x及2yx的取值范围（答：33,33、5, 5） ；（2 2）求函数22(2)(8)yxx的值域（答：10,)） ；（3 3）求函数2261345yxxxx及2261345yxxxx的值域（答： 43,)、(26,26)）注意注意：求两 点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使 两定点在x轴的同侧。 （6）判别式法判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型 有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利 用均值不等式：2b
10、ykx型，可直接用不等式性质，如如求23 2yx的值域（答：3(0, 2）2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，如（如（1 1）求21xyx的值域（答：1(, 2） ；（2 2）求函数2 3xyx的值域（答：10, 2） 22xm xnyxmxn型，通常用判别式法；如如已知函数2328log1mxxnyx的定义域为 R，值域为0，2，求常数,m n的值（答：5mn）2xm xnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，如如求21 1xxyx的值域（答：(, 31,) ）（7）不等式法不等式法利用基本不等式2( ,)abab a bR求函数的最值，其题型特 征解析式是和式时要求积为定值，解析
11、式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、 添项和两边平方等技巧。如如设12,x a ay成等差数列，12,x b by成等比数列，则212 21)( bbaa 的取值范围是_.（答：(,04,)） 。（8）导数法导数法一般适用于高次多项式函数，如如求函数32( )2440f xxxx， 3,3x 的最小值。 （答：48） 提醒提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最 值与值域之间有何关系？ 6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来 表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值求分段函数的值0()f x时，
12、一定首先要时，一定首先要判断判断0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（如（1 1）设函数2(1) .(1)( ) 41.(1)xxf x xx ，则使得( )1f x 的自变量x的取值范围是_（答：(, 20,10 ） ；（2 2）已知 1(0)( )1(0)xf xx，则不等式(2) (2)5xxf x的解集是_（答：3(, 2）7.求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法待定系数法已知所求函数的类型（二次函
13、数的表达形式有三种：一般式：2( )f xaxbxc；顶点式：2( )()f xa xmn；零点式：12( )()()f xa xxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式） 。如如已知( )f x为二次函数，且 )2()2(xfxf，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 22,求( )f x的解析式 。（答：21( )212f xxx）（2）代换（配凑）法代换（配凑）法已知形如( ( )f g x的表达式，求( )f x的表达式。如（如（1 1）已知,sin)cos1 (2xxf求 2xf的解析式（答：242()2,2,2f xxxx ） ；（2 2）若221)
14、1(xxxxf，则函数) 1( xf=_（答：223xx） ；（3 3）若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，且当), 0( x时，)1 ()(3xxxf，那么当)0 ,(x时，)(xf=_（答：3(1)xx）. 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即( )f x的定义域应是( )g x的值域。（3）方程的思想方程的思想已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。如（如（1 1）已知( )2 ()32f xfxx，求( )f x的解析式（答：2( )33f xx ） ；（2 2）已知( )f x是奇函数，)(xg是偶函数，且( )f x+)(xg= 11 x,则( )f x= _（答：21x x ） 。8. 反函数： （1）存在反函数的条件存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值域中的任一个y值，都有唯一的值，都有唯一的x值与之对值与之对
