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1、第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念1导数：在的某个邻域内有定义，)(xfy 0xxxfxxf xyxx )()(limlim000000)()(lim0xxxfxfxx 00)(0xxxxdxdyxfy 2左导数：00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 右导数：00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 定理：在的左（或右）邻域上连续在)(xf0x其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00xfxf xx （或：）)(lim)(00xfxf xx 3.函数可导的必要条件：定理：在处可导在处连续)(xf0x)(xf0x4.
2、函数可导的充要条件：定理：存在)(00xfyxx ，)()(00xfxf 且存在。5.导函数： ),(xfy ),(bax 在内处处可导。 y )(xf),(ba)(0xf )(xf6.导数的几何性质： y是曲线上点 )(0xf )(xfy x处切线的斜率。 o x0 x 00, yxM求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o vuvu )（2o vuvuvu )（3o 2vvuvu vu )0( v3.复合函数的导数：)(),(),(xfyxuufy ，或 dxdu dudy dxdy )()()(xxfxf 注意与的区别：)( xf )(xf 表示复合函数对自变量求导；)( x
3、f x表示复合函数对中间变量求导。)(xf )(x 4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或或 )4 , 3 , 2(, )()()1()(L nxfxfnn函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。 微分的概念1.微分：在的某个邻域内有定义，)(xfx)()(xoxxAy 其中：与无关，是比较高)(xAx )( xo x 阶的无穷小量，即：0)(lim 0 xxox则称在处可微，记作：)(xfy xxxAdy )(dxxAdy)( )0( x2.导数与微分的等价关系：定理：在处可微在处可导，)(xfx)(xfx且：)()(xAxf 3.微分形式不变性：duufdy)( 不论 u
4、 是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。dy一、例题分析例 1.设存在，且，)(xf 1)()2(lim000 xxfxxfx则等于)(0xf A.1, B.0, C.2, D. . 21解：xxfxxfx )()2(lim0001)(22)()2(lim200002 xfxxfxxfx （应选 D）21)(0 xf例 2设其中在处),()()(22xaxxf )(x ax 连续；求。)(af 解： axafxfaf ax )()(lim)(axaaaxaxax )()()()(lim2222 )()(lim)()(limxaxaxxaxaxaxax )(2aa 误解：)()()
5、(2)(22xaxxxxf )(2)()()(2)(22aaaaaaaaf 结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说可导，所以)(x 不一定存在。)(x 例 3设在处可导，且，求：)(xf1 x2)1( f1)1()34(lim 1 xfxfx解：设)4(,3431txxt 当时，1x1t1)4()1()(lim1)1()34(lim3111 tftf xfxftx623)1(31)1()(lim3 1 ftftft例 4设是可导的奇函数，且，)(xf0)(0 kxf则等于：)(0xf A. , B. , C. , D. . kk k1 k1解：)()(xfxf )( )( xfxf)(
6、)()(xfxxf )()(xfxf (应选 A)kxfxf )()(00（结论：可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。 ）例 5设在处是否可导？ 1211)(2xxxxxf1 x解法一：22)1(1 xxf2)1(lim)(lim211 xxf xx 2)2(lim)(lim 11 xxf xx在处连续)(xf1 x121lim1)1()(lim)1(211 xx xfxff xx2)1(lim11lim 121 xxxxx22lim122lim1)1()(lim)1( 111 xxxxx xfxff2) 1 () 1 () 1 (fff在处可导。)(xf1x解法二：22) 1
7、 (1xxf2) 1(lim)(lim211 xxf xx2)2(lim)(lim 11 xxf xx在处连续)(xf1x当时，1x 1212)(xxxxf22lim)(lim) 1 ( 11 xxff xx22lim)(lim) 1 ( 11 xxxff2) 1 () 1 () 1 (fff在处可导。)(xf1x例 6设 001)(2xaexbxxfx求 a,b 的值，使处处可导。)(xf解：的定义域：)(xf),(x当时，0x是初等函数，在内有定义，bxxf 1)()0 ,(不论 a 和 b 为何值，在内连续；)(xf)0 ,(当时，0x是初等函数，在内有定义，xaexf2)(), 0(
8、不论 a 和 b 为何值，在内连续；)(xf), 0( 1)1()0(0 xbxf1)1(lim)(lim 00 bxxf xxaaexfxxx 200lim)(lim只有当时，在处连续；1a)(xf0x当时，处处连续；1a)(xf当时，0a 可导可导020 020)(221xexb xaexbxfxxabbxff xx 00lim)(lim)0(22lim)(lim)0(200 xxxexff只有当时，在处可导；2b)(xf0x当，处处可导。2, 1ba)(xf例 7求下列函数的导数)21ln(cosxy解：xvvuuy21lncosdxdv dvdu dudy dxdy)21ln(sin2
9、1221sinxxvu)arctan(tan2xy 解： )narctan(ta2xy)(tan)(tan1tan2)(tan)(tan11222 22xxxxxxxx xxx44222cossin2sin )(tan1sectan2 xxy2tan10解：)2tan(1010ln)10(2tan2tanxxyxxxx)2sec22(tan1010ln22tanxxxxx （ 为常数）222ryxr解法一：22xry2222 22 2)()( xrxrxry 22xrx m解法二: )()(222ryx022yyx22xrx yxy m)cos(xyy 解法一：)()sin( )cos(xyx
10、yxyy)()sin(yxyxy)sin(1)sin( xyxxyyy解法二:设)cos(),(xyyyxF)sin(1),sin(xyxFxyyFyx)sin(1)sin( xyxxyy FF dxdyyx yxxylnln解法一：)ln()ln(yxxyyyxyxyyxlnln22lnln lnln xxxyyyxy xyyyxxy解法二:设yxxyyxFlnln),(yxxFyxyFyxln,ln22lnln lnln xxxyyyxy xy FF dxdyyxxyyx 3)2)(1( xxxy解：（对数法）3)2)(1(lnlnxxxy)3ln()2ln() 1ln(21xxx)3ln
11、()2ln() 1ln()(ln21xxxy)31 21 11(211 xxxyy3)2)(1()31 21 11(21 xxx xxxyxxy 解法一：（对数法） xxxyxlnlnln1lnln1xxxxyy) 1(lnxxyx解法二：（指数法）xxxxeexyxlnln)ln()(lnlnxxeeyxxxx) 1(lnxxxxxxxycos)(sin2解法一：（对数法）设xxxyxycos 21)(sin,22121,yyyyyyxxxyxln2ln2lnln1)2(ln21ln211xxxxxxyy)2(ln)2(ln2221xxxxxyxxxxysinlncosln2xxxxxyysincoscossinlnsin12 2 )sinlnsincot(cos)(sin
