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1、空间向量与立体几何经典题型与答案空间向量与立体几何经典题型与答案1头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且PABCD/ABDCPADAB,90ABCD，是的中点头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1 2PAADDC1AB MPB（）证明：面面；PAD PCD（）求与所成的角；ACPB（）求面与面所成二面角的大小头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头
2、头头 头 头 头 头 头头 头 AMCBMC证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为AAD头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1(0,0,0), (0,2,0),(1,1,0),(1,0,0), (0,0,1),(0,1, )2ABCDPM（）证明：因., 0),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(DCAPDCAPDCAP所以故由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头
3、 头 头头 头 又在面ADDCAPADPADDC PADDC上，故面面头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 PCDPADPCD（）解：因),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1 (PBAC.510|,cos, 2,5| ,2| PBACPBACPBACPBACPBAC所以故（）解：在上取一点，则存在使MC( , , )N x y z,R,MCNC21, 1,1),21, 0 , 1 (),1 ,1 (zyxMCzyxNC要使14,00,.25ANMCAN MCxz A只需即解得0),52, 1,51(),52
4、, 1 ,51(,. 0),52, 1 ,51(,54MCBNBNANMCANN有此时能使点坐标为时可知当为ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0, 0所求二面角的平面角头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 30304|,|,.555 2cos(,).3| |2arccos().3ANBNAN BNAN BNAN BNANBN A A故所求的二面角为2头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 如图，在四棱锥中，底面是正方形
5、，侧面是正三角形,VABCDABCDVAD平面底面头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 VAD ABCD（）证明：平面；AB VAD（）求面与面所成的二面角的大小头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 VADDB证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 D（）证明：不防设作，(1,0,0)A则， ， (1,1,0)B
6、)23, 0 ,21(V)23, 0 ,21(),0 , 1 , 0(VAAB由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 , 0VAABABVAABADABVADVAAD平面头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 AB VAD（）解：设为中点，则，EDV)43, 0 ,41(E).23, 0 ,21(),43, 1 ,43(),43, 0 ,43(DVEBEA由., 0DVEADVEBDVEB又得因
7、此，是所求二面角的平面角，AEB,721|),cos( EBEAEBEAEBEA解得所求二面角的大小为.721arccos3头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱PABCDABCDD DC CB BA AV V底面， 为的中点头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 PA ABCD3AB 1BC 2PA EPD（）求直线与所成角的余弦值；ACPB（）在侧面内找一点，使面，PABNNE PAC并求出点到和
8、的距离头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 NABAP解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、, , ,A B C D P E(0,0,0)A、( 3,0,0)B( 3,1,0)C(0,1,0)D、，(0,0,2)P1(0,1)2E从而).2, 0 , 3(),0 , 1 , 3(PBAC设的夹角为，则PBAC与,1473723|cos PBACPBAC与所成角的余弦值为头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 ACPB147
9、3（）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则NPABN( ,0, )xz，由面可得，)1 ,21,(zxNENE PAC . 0213, 01. 0)0 , 1 , 3()1 ,21,(, 0)2 , 0 , 0()1 ,21,(. 0, 0xzzxzxACNEAPNE化简得即163zx即点的坐标为，从而点到和的距离分别为头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 N) 1 , 0 ,63(NABAP31,64头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头
10、 头 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所ABCD1AEC F截面而得到的，其中头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 14,2,3,1ABBCCCBE（）求的长； （）求点到平面的距离头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 BFC1AEC F解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，(0,0,0)D(2,4,0)B设头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)ACEC(0,0, )Fz为平行四边形，1AEC F. 62,62|).2 , 4, 2().2 , 0
