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1、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理(一一)复习指导复习指导 1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 (二二)基础知识基础知识 1.1. 三角形中的有关公式三角形中的有关公式 (1)内角和定理内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角任意两角 和和与第三个角总互补，任意两半角和任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角的余 弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理正弦定理：(R为三角形
2、外接圆的半径).注意注意：正弦定理的一些变式：2sinsinsinabcRABC； sinsinsini a b cABC sin,sin,sin22abiiABCRR；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正2c R 2 sin,2 sin,2 siniii aRA bRB bRC弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.2222222cos ,cos2bcaabcbcAAbc(4)面积公式面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，111sin()222aSahabCr abcrABC 若，判断的形状（答：直角三角形） 。CBABA222
3、22sinsincoscossin ABC 特别提醒特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：ABC；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常,sin()sin,sincos22ABCABCABC运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 2 2、求角的方法求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是 此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） 。(三三)解题方法指导解题方法指导 例例 1在ABC 中，abc357，则其最大角为_ 例例 2在ABC 中，有 acosA=bcosB，判断ABC 的形状例例 3在
4、ABC 中，A=60，面积为，周长为 20，求三条边的长310例例 4在一条河的对岸有两个目标物 A，B，但不能到达在岸边选取相距里的 C，D 两点，并测得32ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，且 A，B，C，D 在同一个平面内，求 A，B 之间的距 离例题解析例题解析例例 1 解：解：因为三条边中 c 边最大，则角 C 最大，根据余弦定理，所以21cosC32C例例 2 解：解：由正弦定理，a=2RsinA，b2RsinB，代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB，即 sin2A=sin2B，所以2A=2B 或 2A=2B即 A=B 或，所以ABC 为等腰三角
5、形或直角三角形2 BA例例 3 解：解：因为，所以 bc=40，又 abc=20，a2=b2c22bccosA，解得三条边310sin21AbcSABC为 5，7，8 例例 4 分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮 我们找到解题的思路 要求 AB，可以把 AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求 值 解：解：中ACD 中，ACD=120，ADC=30所以DAC=30，所以AC=CD=2，3在BCD 中，BCD=45，CDB75，所以CBD=60，由正弦定理,60sin| 75sin|,ooCDBC所以,2660sin75sin|oo CDBC在ABC 中，BCA=75， 根据余弦定理，AB2=AC2BC22ACBCcos75，求得AB2=20，52| AB
