第十八章隐函数及其应用

第十八章 隐函数及其应用 第 1 页 共 23 页第十八章第十八章 隐函数及其应用隐函数及其应用教学目的与要求：1、理解隐函数和隐函数组的概念2、掌握隐函数定理（隐函数存在、唯一性定理） 3、掌握隐函数可微性定理4、掌握隐函数组定理、反函数组定理及坐标变换5、会求平面曲线的切线与法线和空间曲线的切线与法平面6、会求曲面的切平面与法线7,深刻理解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值§1 隐函数隐函数教学目的与要求：1、理解隐函数的概念 2、掌握隐函数定理（隐函数存在、唯一性定理） 3、掌握隐函数可微性定理重点：1、隐函数定理（隐函数存在、唯一性定理） 2、隐函数可微性定理难点：隐函数定理的证明一一 隐函数概念：隐函数概念：显函数 只含自变量，如( )yf x( )f xx21yx中只含自变量如( , )zf x y( , )f x y, x yarcsin2y xezxy而方程分别确定了两个函数222222,yxazxy在这样的情况下，因22222222 1212,,,yaxyaxzxyzxy  变量与自变量的关系是由方程所确定的。

设满足方程，若存在集合使得对,,XY¡¡( , )0F x y ,IX JY,xI ，满足方程,则称由方程确定了一个定义在上且值yJ( , )0F x y ( , )0F x y I第十八章 隐函数及其应用 第 2 页 共 23 页域含于的函数，若记其为则成立等式,J( ),,yf x xI yJ( ,( ))0,F x f xxI如,通过解方程有 , 10yxy 1 1yx(, 1)(1,)x  U问题：是否每个方程都能确定隐函数？1否，如当不能,故须探讨隐函数的存在条件220,xyc0c 如知道方程确定了隐函数是否都能通过解方程的形式解出隐函数，化隐为2显，从而研究显函数①有可能解不出如开普勒方程确定隐函数，事实上sin0(01)yxy故反函数存在，但求不出来1sin0dxydy yx②解得出来，但不容易③即使能解出来，形式也未必简单从而导致我们关心：在什么条件下方程能确定隐函数1( , )0F x y ( )yf x在知道了方程确定了隐函数，在不化隐为显的前提下直接由定义2( , )0F x y 此隐函数的方程来研究隐函数的性质。

以上两个问题构成了隐函数这部分的主要内容二二 隐函数存在性条件的分析隐函数存在性条件的分析几何直观性几何直观性在几何上表示曲面与曲面的交线，从( , )( , )00zF x yF x yz( , )ZF x y0Z 而隐函数存在的问题等价于上述曲面和平面是否存在交线或从( )yf x( )yg x而必有及0,0()0F x y22 00(,)0(( , )0 00yyF xyzF x yxyFx如，在（，）处F便不能确定隐函数）若还需所定义的隐函数为连续函数，则的连续性是必须的F第十八章 隐函数及其应用 第 3 页 共 23 页三三 隐函数定理隐函数定理（隐函数存在唯一性定理）（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件18.1Th函数在以为内点的某一区域上连续) iF000(,)p xy2D  ¡)ii00(,)0F xy在内存在连续偏导)iiiD( , )yF x y)iv00(,)0yF xy则在点的某邻域内，方程唯一确定了一个定义在某区0p0()U pD( , )0F x y 间内的函数使得00(,)xx( )yf x，当时且100()f xy00(,)xxx0( ,( ))(),x f xU p( ,( ))0F x f x在连续2( )f x00(,)xx证明:由条件：,不妨设由条件内连续,则)iv00(,)0yF xy00(,)0yF xy)iiiyF 在D一定存在的某一闭方邻域使得其上每一00(,)xy0P0,]x0[ x00[,]yy点处都有,从而对，作为的一函数在( , )0yF x y 00[,]xxx ( , )F x yy上严格单增且连续，由条件知00[,]yy)ii0000(,)0,(,)0F xyF xy再由的连续性(条件)可知在上连F) i1020( ,),(,)F x yF xy00[,]xx续，有局部保号性知,当时0,()00(,)xxx这表明函数在矩形区域00( ,)0,( ,)0F x yF x yF的边上取负值取正定值。

0000(,) [,]ABA Bxxyy  ABA B 故对内每一个固定的，都有而00(,)xxx00( ,),0,( ,)0F x yF x y作为的一元函数在上严格递增且连续知 ( , )F x yy00,yy,由在中的任意性知这便确定00(,)yyy. . ( , )0,st F x y x00(,)xx了一个隐函数，,( )yf xx00(,)xx00(,)yyy第十八章 隐函数及其应用 第 4 页 共 23 页记，则由证明过程知满足的0()U P 0000(,) (,)xxyy( )yf x1各项要求再证在连续f00(,)xx在内任取一点，记，显然对00(,)xxx( )yf x00yyy即有000,min{,}yy yy 00yyyy,由的严格单调增加知,( , )0F x y( , )F x y( ,)0,( ,)0F x yF x y又由的连续性知当时( , )F x y0,(,)xxx( ,)0,( ,)0F x yF x y由前证知， 由的唯一性知，这说明00(,), . . ( , )0yyyst F x yy( )yf x当时 ，xx( )( )yyf xf x在连续，由的任意性知在连续。

fxxf00(,)xx注的条件为充分条件，如有但118.1Th33( , )0F x yyx(0,0)(0,0)0xyFF在的邻域内能确定的隐函数,但条件不满足时结论可不成立0,0)yx（）147 148P有的条件可削弱如2( , )0,( , )0yxF x yF x y中若换为，则可确定隐函数若有，也318.1Th0yF 0xF ( )xy0yF 有呢？0xF 隐函数可微定理隐函数可微定理18.2Th若满足中的全部条件，且在存在且连续，则所( , )F x y18.1ThxFD( , )0F x y 确定的隐函数在其定义域有连续偏导数且( )yf x00(,)xx( , )( )( , )xyF x yfxF x y 证：设且00,(,)xxxx 00( ),()(,)f xf xxyy第十八章 隐函数及其应用 第 5 页 共 23 页( , )0,(,)0F x yF xx yyQ由二元中值定理（）13317.8P Th0(,)( , )F xx yyF x y (,)(,)(01)xyF xx yyxF xx yyy     (,) (,)xyF xx yyx yF xx yy     由的连续性,xyF F0,yF  0( , )( )lim( , )xxyF x yyfxxF x y  注若知隐函数存在，则可用复合函数求导法推出上面公式1隐函数的高阶导数可由链式法则推出。

2二．18.3Th分析条件与结论与分析条件与结论与的关系的关系18.1,18.2ThTh①的条件为充分条件，可用关于严格单调代替18.1ThFy`0,yF ②若的存在换为存在且则结论应存在隐函数18.1ThyFxF00(,)0xF xy( )xy③若有，又有，则结论呢，看例 400(,)0yF xy00(,)0xF xy（反函数的存在性与其导数）设在的某邻域内有连续导函数且( )yf x0x( )fx00()f xy考虑方程：（*）显然连续( , )( )0F x yyf xF00(,)0F xyQ连续，1yF 000(,)()xF xyfx 若 则方程（*）可确定隐函数，称其为的反函00(,)0fxy( )xg y( )yf x数且（反函数求导公式）11( )( )( )yxFg yFfxfx  第十八章 隐函数及其应用 第 6 页 共 23 页四四 隐函数求导实例隐函数求导实例例 4 讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数的一阶 二阶3330xyaxy( )yf x导数解： 记 （*）33( , )30F x yxyaxy22333()yFyaxyax在连续F2¡在存在连续，故当即且满足的点附近。

yF2¡0yF 20yax( , )0F x y 方程（*）皆能确定隐函数且( )yf x22 2 223()( ),(0)3()xyFxayayxyfxyaxFyaxyax  2222(2 )()()(2) ()ayxyaxayxy yayyax 2222222 231[(2)()()(2)]()aaxxyyaxayax ayyxa xyax333 21[ 22(3)]()a xyxyaxyxyyax3232 ()a xy yax令，即代入原方程得点20ayx2xya33( 2 ,4 )Aaa令，即代入原方程设点）20yax2yxa33( 4 ,2Baa曲线在点分别有平行于轴和轴的切线在点附近处不( )yf x,A Bxy,B O能确定隐函数方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或151pcossinxyxye( )yf x( )xg y解：记( , )cossinxyF x yxye显然在上连续存在且连续而F2¡,xyF F(0,0)0F(0,0)(0,0)(cos)|10xy yFyxe 第十八章 隐函数及其应用 第 7 页 共 23 页能在原点的某邻域内确定形如的连续可微隐函数。

, )0F x y( )yf x但，不满足的条件，故不能由设它是否(0,0)( sin)|0xy xFxye 18.1Th18.1Th有形如的隐函数存在的结论 )xg y由于 ,即为函数的稳定点又sin cosxy x xy yFxyeyFyxe  (0,0)0y0x ( )yf x21 (cos)[cos()](cos)(sin)[ sin()]}xyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxexy ey yexeyyxexyey yex yexey ，这说明在原点假设极小值，故知方程在原点的任(0,0)10y ( )yf x0y 何邻域内不能确定形如的隐函数 )xg y2 方程在点的某邻域内能否确定出某一变量151pln1xzxyzye(0,1,1)为另两个变量的函数？解：记( , , )ln1xzF x y zxyzye有在原点的邻域内连续Fxz xFyze(0,1,1)0xFyzFxy(0,1,1)0。