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1、第四章 点、直线、平面的投影,第一节 点的投影,第二节 直线的投影,第三节 直线上的点,第五节 两直线的相对位置,第六节 平面的投影,第七节 平面上的直线和点,平顶山工学院土木工程系,返回,第一节 点的投影,一、点的正投影规律1、点的单面投影,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,由空间点作投影线垂直于投影面，可得到唯一投影。,第四章 点、直线、平面的投影,返回,2、点的两面投影,第四章 点、直线、平面的投影,1）点的一投影到投影轴的距离，等于空间点到相 应投影面的距离。,点A到H面距离 Aa=aax点A到V面距离 Aa=aax,第四章 点、直线、平面的投影,2）两面投影连线，必垂直于
2、投影轴；,aaOX,第四章 点、直线、平面的投影,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点三面的投影规律:,3、点的三面投影,1）点的任两投影连线必垂直于相应的投影轴：,第四章 点、直线、平面的投影,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点三面的投影规律:,aaOX； aa“OZ；,aaYHOYH； a“aYWOYW,第四章 点、直线、平面的投影,2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相 应投影面的距离。,Aa =aaX = a“ aZ = 到V面距离Aa =a aX = a“ aYW = 到H面距离Aa“ =aaYH = a aZ = 到W面距离,第四章 点、直线、平面的投影,第
3、四章 点、直线、平面的投影,4、点的投影与坐标的关系 此时：应把投影面看成坐标面，投影轴看成坐标轴。 则：A（x,y,z),Aa =aaX = a“ aZ = 到V面距离=YAa =a aX = a“ aYW = 到H面距离=ZAa“ =aaYH = a aZ = 到W面距离=X,a,a,ax,az,解:,通过作45线使aaz=aax,第四章 点、直线、平面的投影,高平齐,例4-1 已知点的两面投影，求第三面投影。,例4-2已知点A的坐标为（15，10，20），作 点A的三面投影。,解：、从原点开始，沿轴量取15mm，并作X轴垂线；,第四章 点、直线、平面的投影,2、取Y=10mm作线垂直于Y
4、轴，得a；,3、取Z=20mm 作线垂直于Z轴，得a、a。,第四章 点、直线、平面的投影,例4-3已知点A的坐标为 (6,7,10)，试确定该点的空间位置。,解：1) 沿OX轴量取Oax6；,2) 过点ax作axa/OY，并使axa7；,3) 过点aA/OZ， 并使 aA10 。,第四章 点、直线、平面的投影,例4-4已知点A在H面上，点B在Y轴上， 点C在V面上，求三点的投影。,第四章 点、直线、平面的投影,1、求点A,如图所示,点的H投影与空间点重合，V投影在X轴上，W投影在Y上。,2、求点B，B在Y轴上，其H、W投影在Y轴上，V投影在原点。,第四章 点、直线、平面的投影,3、求点C，C在
5、V面上，其V投影在V面上，H投影在X轴上，W投影在Z轴上。,注意： 1）投影面上的点，必有两个投影在投影轴上，另一投影与本身重合； 2）投影轴上的点，两个投影与本身重合，另一投影在原点。,第四章 点、直线、平面的投影,二、两点的相对位置,1、各投影反映位置关系,H投影反映左右、前后位置 V投影反映左右、上下位置 W投影反映上下、前后位置,第四章 点、直线、平面的投影,作图步骤：,1）在a左方12 mm ，上方8 mm 处确定b；,2）作bbOX 轴，且在a 前10 mm 处确定b ；,3）按投影关系求得b。,例4-5如图，已知点A 的三投影，另一点B 在点A 上方8 mm，左方12 mm，前方
6、10 mm处，求点B 的三个投影。,ay,ay,Z,a,a,ax,az,X,YH,YW,O,a,第四章 点、直线、平面的投影,2、重影点及可见性,若空间两点的某两个坐标相等，则这两点位于某一投影面的同一投射线上，且这两点在该影面上投影重合为一点，这两点就称为该投影的重影点。,注意:不可见点的投影用字母标记加括号表示。,第四章 点、直线、平面的投影,两点的X、Y坐标相等，H投影重合, 上可见，下不可见.,重影,第四章 点、直线、平面的投影,两点的X、Z坐标相等，V投影重合, 前可见，后不可见,重影,第四章 点、直线、平面的投影,两点的Y、Z坐标相等，W投影重合， 左可见，右不可见；,重影,第四章
7、 点、直线、平面的投影,例4-6已知三棱柱上点A的V投影和点B的W投影，试分析两点相对位置。,分析: 1.求出A、B两点的其他两面投影； （利用点在立体上的位置关系） 2.判断各投影面上两投影之间的位置关系。,第四章 点、直线、平面的投影,1.求点。 1）求点A。,通过三棱柱投影，判断A在三棱柱左后棱线上，据此求出点A的H、W投影。,第四章 点、直线、平面的投影,2）求点B。 通过三棱柱投影，判断B在三棱柱中前棱线上，据此求出点B的H、V投影。,第四章 点、直线、平面的投影,2、判断。 通过V投影断定：A在B左、上；通过H投影断定A在B左、前； 总之，A在B左、前、上方。,第四章 点、直线、平
8、面的投影,例4-7根据形体的立体图，在投影图上标出重影点的投影。,解：搞清形体的投影方向及点在形体上的位置，然后正确标注。,第四章 点、直线、平面的投影,1、A、B两点在垂直于H面的同一棱线上，其H投影重合；,第四章 点、直线、平面的投影,2、 A、C两点在垂直于W面的同一棱线上，其W投影重合；,第四章 点、直线、平面的投影,3、 A、E两点在垂直于V面的同一棱线上，其V投影重合；,第四章 点、直线、平面的投影,4、 C、D两点在垂直于V面的同一棱线 上，其V投影重合；,5、 E、D两点在垂直于W面的同一棱线上，其W投影重合。,第四章 点、直线、平面的投影,补例4-2已知A、B两点等高，B在A
9、后15mm，A、B两点相距40mm，求B的两面投影。,第四章 点、直线、平面的投影,解：1、两点等高，则两点的V投影在同一X轴的平行线上；,因此：过a作直线平行于X轴。,第四章 点、直线、平面的投影,2、B在A后15mm，则B的H投影在A的H投影后15mm的X轴的平行线上；,因此：在H投影中在a的后方15mm处作直线 平行于X轴。,第四章 点、直线、平面的投影,3、两点相距40mm，则B的H投影在以A的H投影为圆心，40为半径的圆上；,因此：以a为圆心，40mm为半径画圆弧，交a后15mm直线于点b，即为B点的H投影。,第四章 点、直线、平面的投影,4、过b作直线垂直于X轴，交过a所作平行于X
10、轴的直线，即得b。,第四章 点、直线、平面的投影,第二节 直线的投影,1、直线（线段）的空间位置可由线上任意两点的位置确定。 2、直线的表示（标记） 1）用直线上任意两点的字母来标记； 2）用一个字母来标记。 3、线段的标记：用两个端点作标记。,一、直线与线段的空间位置的确定,第四章 点、直线、平面的投影,返回,直线的投影仍是直线。,一条直线的投影可由直线上任意两点的投影确定。 一般用线段的两个端点的投影表示。,二、直线的投影,第四章 点、直线、平面的投影,三、直线的三面投影,作出两端点的投影，将在同一投影面上的投影（同名投影）连接即得。,第四章 点、直线、平面的投影,四、直线对投影面的倾角：
11、,一条直线对投影面的夹角，称为直线对投影面的倾角。 直线对H面的倾角： 直线对V面的倾角： 直线对W面的倾角：,第四章 点、直线、平面的投影,六、直线对投影面相对位置,1、一般位置直线（表4-1） 1）空间位置：与三个投影面都倾斜；,第四章 点、直线、平面的投影,2）投影特点：,三面投影都是倾斜于投影轴的直线； 三面投影长均小于实长； 三面投影不能反映倾角的大小。 （应用：判断）,第四章 点、直线、平面的投影,3）一般位置直线实长和倾角的求作 （直角三角形法）,直角三角形法的证明,第四章 点、直线、平面的投影,直角三角形法的四要素：,投影长、坐标差、实长和倾角 应用总结：不同条件的四要素1）H
12、面投影长、Z坐标差、实长。2）V面投影长、Y坐标差、实长。3）W面投影长、X坐标差、实长。,第四章 点、直线、平面的投影,解：求ab即求b，bb垂直X轴，若求出Y，即可得。可由实长、 ab作直角三角形求Y。,1）过b作直线垂直于X轴；,例4-8 ：已知直线AB的投影ab和a及AB=35mm，求ab。,第四章 点、直线、平面的投影,2）利用实长、 投影长ab，作直角三角形， 求Y。,第四章 点、直线、平面的投影,3）A、B前后差为Y，因此：,以a为基点，向后（或前）取Y并作直线平行于X轴。,第四章 点、直线、平面的投影,4）1和3步所作两直线的交点即为b。,连接ab并加深。,第四章 点、直线、平
13、面的投影,2、投影面垂直线（表4-4、4-5）,1）铅垂线：垂直于H面，平行于V、W面,第四章 点、直线、平面的投影,2）正垂线：垂直于V面，平行于H、W面,第四章 点、直线、平面的投影,3）侧垂线：垂直于W面，平行于V、H面,第四章 点、直线、平面的投影,空间位置：垂直于一个投影面而平 行于另两投影面；,投影特点：一个投影积聚成点；另两投影垂直于相应的投影轴，且反映实长 （请总结三种垂线的投影特点） 投影面垂直线的判别：一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面.,第四章 点、直线、平面的投影,1）水平线：平行于H面,3、投影面平行线（表4-2、4-3）,第四章 点、直线、平面的投影,2
14、）正平线：平行于V面,第四章 点、直线、平面的投影,3）侧平线：平行于W面,第四章 点、直线、平面的投影,空间位置：平行于一个投影面而与另两投影面倾斜；,投影特点：一个投影反映实长且反映两个倾角的真实大小；另两投影平行于相应投影轴。 （请总结三种平行线的投影特点）,第四章 点、直线、平面的投影,投影面平行线的判别：,一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，垂直哪一面。 注意：在垂直线和平行线的判别口诀中，所说的直线是指平行或垂直投影轴的线，斜线是指倾斜于投影轴的线，应和一般意义的直线区别开。,第四章 点、直线、平面的投影,第三节 直线上的点,一、直线上点的投影规律,第四章 点、直线、平面的投影,返回,1、从属性：,直线上一点的投影，必在直线的各同名投影上；并符合点的投影规律。反之，成立。（判断）一般情况下，点的任意两面投影在直线的同名投影上；并符合点的投影规律，则点在直线上。当直线为投影面平行线时，应从直线所平行的投影面上的投影判断。,
