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1、全等三角形综合复习全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例例 1. 如图，四点共线，。求证：,A F E BACCEBDDFAEBFACBD。ACFBDE 例例 2. 如图，在中，是ABC 的平分线，垂足为。求证：ABCBEADBED。21C 例例 3. 如图，在中，。为延长线上一点，点在ABCABBC90ABCoFABE 上，连接和。求证：。BCBEBF,AE EFCFAECF例例 4. 如图，/，/，求证：。ABCDADBCABCD例例 5. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：,AP CPABCMACNCAP为
2、的平分线。BPMBN例例 6. 如图，是的边上的点，且，是DABCBCCDABADBBAD AE的中线。求证：。ABD2ACAE例例 7. 如图，在中，为上任意一点。求证：ABCABAC12 PAD。ABACPBPC全等三角形综合复习全等三角形综合复习 7 7 月月 2222 日作业日作业一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一的是( )ABCA. ，B. ，3AB 4BC 8CA 4AB 3BC 30AoC. ，D. ，60Co45Bo4AB 90Co6AB 3. 如图，已
3、知，增加下列条件：；12 ACADABAEBCED；。其中能使的条件有( )CD BE ABCAED A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个4. 如图，交于点，下列不正确的是( )12 CD ,AC BDEA. B. DAECBE CEDEC. 不全等于D. 是等腰三角形DEACBEEAB5. 如图，已知，则等于( )ABCDBCAD23BoDA. B. C. D. 无法确定67o46o23o二、填空题：6. 如图，在中，的平分线交于点，且ABC90CoABCBDACD，则点到的距离等于_；:2:3CD AD 10ACcmDABcm7. 如图，已知，是上的两点，且，若ABDCADBC
4、,E FBDBEDF，则_；100AEBo30ADBoBCF8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为,BC BDCBD_；9. 如图，在等腰中，平分交于，Rt ABC90CoACBCADBACBCD于，若，则的周长等于_；DEABE10AB BDE10. 如图，点在同一条直线上，/，/，且，若,D E F BABCDAECFAECF，则_；10BD 2BF EF 三、解答题： 11. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与ABC,M N,BC ACBMCNAM交于点。求的度数。BNQAQN12. 如图，为上一点，交90ACBoACBCDABAECDBFCD延长线于点。求证：。
5、CDFBFCE答案答案例例 1. 思路分析：思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边ACFBDE ACBDAEBF同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是EFAFBE，也可以是。CFDEAB 由条件，可得，再加上，ACCEBDDF90ACEBDF oAEBF，可以证明，从而得到。ACBDACEBDF AB 解答过程解答过程：，QACCEBDDF90ACEBDF o在与中Rt ACERt BDFQAEBF ACBD (HL)Rt ACERt BDFAB QAEBF ，即AEEFBFEFAFBE在与中ACFBDEQAFBEABACBD (SAS)ACFBDE 解题后的思考解题
6、后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例例 2. 思路分析：思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，21C 证明且。也可以看成将“转移”到。2 1C 2那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了FBD，ADBCF可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。
7、解答过程解答过程：延长交于ADBCF在与中ABDFBD(ASA Q90ABDFBD BDBDADBFDB oABDFBD 2DFB 又 。Q1DFBC 21C 解题后的思考解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例例 3. 思路分析：思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是AEABEB90oCBFCF的边，故只要证明它们全等即可。CBF解答过程解答过程：，为延长线上一点Q90ABCoFAB90ABCCBF o在与中ABECBFQABBC ABCCBF BEBF (SAS)A
8、BECBF 。AECF解题后的思考解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例例 4. 思路分析：思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程解答过程：连接AC/，/Q ABCDADBC，12 34 在与中ABCCDAQ1243ACCA (ASA)ABCCDA 。ABCD解题后的思考解题后的思考：连接四边形的对角线，是
9、构造全等三角形的常用方法。 例例 5. 思路分析：思路分析：要证明“为的平分线” ，可以利用点到的距离相BPMBNP,BM BN等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别P,BM BN,AP CP是和的平分线” ，也需要作出点到两外角两边的距离。MACNCAP解答过程解答过程：过作于，于，于PPDBMDPEACEPFBNF平分，于，于Q APMACPDBMDPEACEPDPE 平分，于，于QCPNCAPEACEPFBNF PEPF ，QPDPEPEPFPDPF ，且于，于QPDPFPDBMDPFBNF为的平分线。 BPMBN解题后的思考解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件
10、，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例例 6. 思路分析：思路分析：要证明“” ，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等2ACAE2AE于。因此，延长至，使。ACAEFEFAE解答过程解答过程：延长至点，使，连接AEFEFAEDF在与中ABEFDEQAEFE AEBFED BEDE (SAS)ABEFDE BEDF ，QADFADBEDF ADCBADB 又QADBBAD ADFADC ，QABDFABCDDFDC在与中ADFADCQADADADFADCDFDC (SAS)ADFADC AFAC又Q2AFAE。2ACAE解题后
11、的思考解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例例 7. 思路分析：思路分析：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证ABACPBPC明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而ABAC构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。ABAC解答过程解答过程：法一：在上截取，连接ABANACPN在与中APNAPCQ12ANACAPAP (SAS)APNAPC PNPC在中，QBPNPBPNBN，即 ABACPBPC。PBPCABAC法二：延长至，使，连接ACMAMABPM在与中ABPAMPQ12ABAMAPA
12、P (SAS)ABPAMP PBPM 在中， QPCMCMPMPC。ABACPBPC解题后的思考解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长” ；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短” 。小结：小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。 同步练习的答案同步练习的答案一、选择题：1. A2. C3. B4. C5. C二、填空题：6. 47. 8. 9. 1010. 670o90o三、解答题：11. 解：为等边三角形QABC，ABBC60ABCC o在与中ABMBCNQABBC ABCC BMCN (SAS)ABMBCN NBCBAM 。60AQNABQBAMABQNBC o12. 证明：，QAECDBFCD 90FAEC o90ACECAEoQ90ACBo90ACEBCFoCAEBCF 在与中ACECBFQFAEC CAEBCFACBC (AAS)ACECBF 。BFCE
