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1、1数学解题技巧方法谈数学解题技巧方法谈 第一集第一集 1 1、三角恒等变换的基础、应用及技巧（、三角恒等变换的基础、应用及技巧（1 1）2 2、关于简单三角变换的问题（、关于简单三角变换的问题（2121）3 3、三角恒等变换易错题剖析（、三角恒等变换易错题剖析（2828）4 4、知识大盘点基本初等函数及三角恒等变换（、知识大盘点基本初等函数及三角恒等变换（3131）5 5、应试答题技巧（应试答题技巧（3333）6 6、考前状态调整（、考前状态调整（3636）7 7、数学、数学( (理理) )：20092009 年命题预测及名师指导（年命题预测及名师指导（3838）8 8、第二章、第二章 数学科
2、考试大纲导读（数学科考试大纲导读（4040）9 9、必考内容与要求：函数概念（、必考内容与要求：函数概念（4444）1010、必考内容与要求：立体几何初步（、必考内容与要求：立体几何初步（5050）1111、平面解析几何初步（平面解析几何初步（5454）1212、算法初步（算法初步（5757）1313、高考数学知识网络图（高考数学知识网络图（5858）古人云：工欲善其事，必先利其器。古人云：工欲善其事，必先利其器。 方法对头，百事不愁。解题之道，技巧先行。方法对头，百事不愁。解题之道，技巧先行。2一. 教学内容：暑假专题三角恒等变换的基础、应用及技巧二. 教学目的1、复习三角恒等变换的基本公式
3、及相互关系2、分析三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧三. 教学重点、难点三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧四. 知识分析1.1. 三角函数恒等变形公式三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式（5）万能公式， ， 3（6）积化和差，（7）和差化积，2.2. 网络结构网络结构43.3. 基础知识疑点辨析基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：。 （2）怎样正确理解正切的和差角公式？5
4、正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。用代替，可把转化为，其限制条件同。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如 15，75，105角等）的三角函数值。能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用
5、，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：， ，分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易证明 。 4.4. 三角函数变换的方法总结三角函数变换的方法总结三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而
6、且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握6三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1 1）变换函数名）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例例 1】1】已知 同时满足和,且 a、b 均不为 0，求 a、b 的关
7、系。解析解析：已知显然有：由cos2cos，得：2acos22bcos=0即有：acosb=0又 a0 所以，cosb/a 将代入得：a（a/b）2b（b/a）2a即 a4b42a2b2 （a2b2）20 即ab点评点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。（2 2）变换角的形式）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变它应用广泛，方式灵活，如 可变为（）；2 可变为（）（）；2 可变为（）；2 可看作 4 的倍角；（45）可看成（902）的半角
8、等等。【例例 2】2】求 sin（75）cos（45）cos（15）的值。7解析解析：设 15，则原式sin（60）cos （+30）cos（sincos60cossin60 ）（coscos30sinsin30）cossincoscossincos0点评点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。【例例 3】3】已知 sinsin（） （其中 cosA），试证明：tan（）证明证明：已知条件可变为：sin（）sin （）所以有：sin （） coscos （） sinsin （） sin （）（ cos）cos （） si
9、n tan（）点评点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。（3 3）以式代值）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有 1 的三角公式，将原式中的 1 或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是 sin2xcos2x, sec2xtan2x, csc2x cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。【例例 4】4】化简：解析解析：原式8点评点评：1“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。（4 4
10、）和积互化）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。【例例 5】5】解三角方程：sin2xsin22xsin23x解析：解析：原方程变形为：（1cos2x）（1cos4x）（1cos6x）即： 1cos6x cos2xcos4x2cos23x 2cos3x cosx 得： cos3x sin2x sinx 0解得： x 或 x （） 原方程的解集为x| x 或 x,点评点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了提取公因式。（5 5）添补法）添补法与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补
11、法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。【例例 6】6】求证：证明证明：左边9右边 原式成立。点评点评：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。（6 6）代数方法）代数方法三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。【例例 7】7】锐角 、 满足条件，则下列结论中正确的是（ ）A.+ B. +C. + D. +解析解析：令 si
12、n,则有整理得： （ab）20 即 ab即： sin2cos2 （， 同为锐角） sincos ，故应选 D。点评点评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷解题的效果（7 7）数形结合）数形结合10有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。【例例 9】9】已知：，求的值。解析解析：点，均在单位圆上。由已知条件知：AB 的中点坐标为（1/6,1/8），即直线过 定点 C如下图所示xOC据万能公式得：点评点评：本题用和差化积公
13、式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法。数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。从六、七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以上七个方面外，还有平方消元，万能置换
14、，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角，借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。5.5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究11非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。【题目题目】求求的值。的值。分析分析 1 1：这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子中有一项是正切函数、一项是正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简，使其化为特殊
15、的三角函数值。解法解法 1 1：点评点评：通分以后，要将和式转化为积式，需将拆项为，这是将和式转化为积式中常用的变形手段，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值，这样才有可能使化简得以进行下去。分析分析 2 2：运用切割化弦，通过通分化简后，若不考虑将和式转化为积式，而是对角进行变换，观察到运算的式子中出现的两角为 20，40，与特殊角比较则会有 604020，变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。解法解法 2 2：12分析分析 3 3：我们在运用“切割化弦”时，若不利用商数关系，而是将 tan200利用半角公式 进行化弦，也能进行求值。解法解法 3 3： 分析分析 4 4：从以上路径可以看出，而是一个特殊的三角函数值，考虑它等于什么呢？，因而考虑可否会有，这样问题就转化为等式的验证。解法解法 4 4：13有点评点评：本路径采用了综合法，只进行等式 的验证，问题就得以解决。分析分析 5 5：利用倍角
