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1、第一章 极限与连续一、利用极限概念和运算法则求数列的极限一些常用的极限关系式：1，当时，前nnk anncnn!log0a(0k) 1cn 比后的极限为02当时，的极限为 nnankn0a()0k13； ； 0 nnqlim)|(|1qennn 11lim111 nnnsin lim例 1 求nnn nln)ln(lim 1解 原式1111 ennnnnnnlnlnlimlnlim例 2 求)sin(lim12 n n解 原式 nnnn)(sinlim12)sin()(limnnnn 1120 11 2 nnnnsin)(lim例 3 求)0(11limxxxnnn解 （1）时，；10 x11
2、010 11nnnxxlim（2）时，；1x01111 11nnnxxlim（3）时，1x10101 11 11nnnnnnxx xxlimlim例 4 设，证明：010paaa0110 )(limpnananapn证明 由题设可知，则paaa10pnananap110pnananaapp111)()()()(npnannannap2121因为 ，所以 0 nininin nnlim)(lim),2, 1(pi0110 )(limpnananapn例 5 求，)()()(limnxxxx n2421111 1 | x解 原式xxxxxxnn 111111242)()()()(limxxxxxn
3、n 111112422)()()(lim xxxnn11 11lim12例 6 求)0(2cos2cos2coslim2 xxxxnn解 原式nnnn nnxxxxx22222222sinsincoscoscos lim nnnn nnxxxxx222222211 12sinsincoscoscos lim nnnxx22 sinsinlim xx xxxxnnnsinsinsinlim 22例 7 求 22211311211nnlim解 因为 22211311211n niniiiii i2221111)()(， ninininiiiii22221111)()(nn 21所以，原式21 21
4、 nnnlim例 8 求 nn2111321112111lim解 因为 n2111321112111 nii22111 niiiii2121 )()(， ninininiiiii222221111)()(nn 32所以，原式31 32 nnnlim二、利用迫敛定理求数列的极限定理 如果从某一项起，有，且，则nnncabacbnnnn limlimaan n lim例 9 求nnnnn1 321)(lim 解 因为，nnnnnnnnnnn1111 3333332133)()()(且，由迫敛定理知1331 nnn nlimlim33211 nnnnn)(lim例 10 求 33321 21 11
5、)()()(limnnnn解 因为，33333121 21 11 2)()()()()(nn nnnnn且，由迫敛定理知01233 )(lim)(limnn nnnn021 21 11333 )()()(limnnnn例 11 求 nnnnn22212111lim解 因为， 11211122222 nnnnnnnnn且，所以 1 122 nnnnnnnlimlim112111222 nnnnnlim例 12 求 nnn nnn33322 11lim解 因为，nnn nnnnn 333322 1121 1213nn即 ，nnn nnnn 333222 11 121)()()( 1213nnn且，
6、所以 0121 12132)()(lim)(limnnn nnnn022 11333 nnn nnnlim例 13 求!limnnn2 解 因为，nnnnnn42 12 32 22 12 21222 !20 所以 02 !limnnn例 14 求nnnn!lim 解 因为nnnnn nnnnnn nnn1321321!0 所以 0 nnnn!lim三、利用单调有界定理求数列的极限定理 单调有界数列必有极限 注 利用该定理求极限，主要有两个步骤：一是验证数列单调并且有 界；二是通过解代数方程求出极限例 15 设，证明存在，并求出这个极222nxnnx lim限 证明 数列为：nx，21x222x
7、12nnxx首先应用数学归纳法证明单调增加并且有界：nx显然若设，则21xx nnxx1 ，nnnnxxxx1122数列单调增加；nx又，若设，则21x21nx，22221nnxx数列有界，所以存在nxnnx lim令，在的两边取极限，得axn n limnnxx21，aa2解得或（舍去） 故2a1a2 nnxlim四、利用极限概念和运算法则求函数的极限利用极限的运算法则求函数的极限时，符合运算法则的可用法则直接 求（这类题目较简单） ；不符合运算法则的，注意以下方法： 1通过因式分解或根式有理化，消去极限为的因子0 2利用两个重要极限 （1）第一个重要极限. 1)(sin)(lim1)()(
8、sinlim1sinlim1sinlim0)(0)(00xx xxxx xxxxxx （2）第二个重要极限；exexxxx x )(10)(10)(1lim)1 (limexexxxxx )()()(11lim11lim注 请读者注意两个重要极限的特点 3利用无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系及等价无穷小的替换（1），其中)()()(limxAxfAxf0)(limx （2）等价无穷小的替换原则和传递性 设，0)(limx0)(limx0)(limx若，则，；limlim limlim limlim若，则 （3）常用的等价无穷小： 当时， 0)(x； ；)(sinx)(x)(arcsinx)(
9、x； ；)(tanx)(x)(arctanx)(x； ；)(cosx12 21)(x11)(x)(x； ； )(lnx1)(x1)(xe)(x ，1)(xaax ln)(0(a)1a（4） mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx,0lim0011 1011 10 例 16 计算下列极限：（1）； （2）； 812 2132xxxlim)(lim1122 xxxx x（3）； （4）； )cos(limxxxxx32210xxexsinsinsinlim（5）； （6）； 1110xxexx)ln(limxxxxxcossinlim120（7）；（8）)cos(sinta
10、nlimxxxxx1110；)(limxxxx x21123 （9）； （10）xxxx11222 sinlim xxxx23212 lim解 （1）原式21 42242 4228222222 )()(lim)(limxxxxx xxxxxxx（2）原式 11222 xxxxxxlimxxx xxxx11222 lim1 111111222 xxxxxlim（3）因为，是有界函数，由无穷小的性质知022xxxxlimxcos30322)cos(limxxxxx（4）因为时，则，0x0xsinxsinsinxsin1xesin ，于是，因此xsinxsinsin1xesin11sinsinlim
11、sin0xxex（5）因为时，于是0x)ln(xxe1xxe11 xx2122111100xxexxexxxxlim)ln(lim（6）原式xxxxxxxxcossin)cossin(lim 1120342112 1120 xx xxxxxxcossincossinlim（7）原式)sintan)(cos(sintanlimxxxxxxx 1110)sintan(cossinlim xxxxxx 110211110 xxxsintanlim注 对和、差的极限，最好不用等价无穷小的替换，原因是难以把握， 容易出错；乘除运算中可用等价无穷小的替换，一般地，也要针对分子或 分母中的整个因式进行替换如（4） 、 （5） 、 （7） （8）原式)(limxxxxx x 1123 xxxxx x111123 lim)(lim xxxxxxx x 111123)()(lim 1111223 xxxxxxx x xxxxx11111111112lim41（9）原式xxxxx11122sin lim 221 21（10）原式xxx23241 lim令，则，当时，所以，324 xu342uxx0u原式340)1 (limu uu4340)1 ()
