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1、1相似三角形动点问题相似三角形动点问题 一选择题（共一选择题（共 1 小题）小题） 1如图，小正方形的边长均为 1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图 55 的方格中，作格点三角形和ABC 相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（ ）A 0.5，2.5B 0.5，5C 1，2.5D 1，5解：如图所示，DEF 和GHI 分别是面积最小和面积最大的三角形因为DEF，GHI 和ABC 都相似，AB=，DE=1，GH=， 所以它们的相似比为 DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而ABC 的面积为21=1，故DEF 和
2、GHI 面积分别为 0.5，5故选 B二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 2如图，P 是 RtABC 斜边 AB 上的动点（P 异于 A、B） ，C=90，B=30，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，当= 或或 时，截得的三角形面积为ABC 面积的 716358解：设 P（lx）截得的三角形面积为 S，S= SABC，则相似比为 1：2，第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l1AC，第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点，l2BC，第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=九年级相似三角形动点问题2，第 4 条 l4，此时 AP
3、与 AC 为对应边，且 ，= ，= ，当= 或或 时，截得的三角形面积为 RtABC 面积的 ，故答案为： 或或 3如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上的动点，N 在 CO 上，且，若 AB=1，设 BM=x，当 x= 或 时，以 A、B、M 为顶点的三角形和以 N、C、M 为顶点的三角形相似相似三角形的性质；正方形的性质7，AB=1CN= 1= ，BM=x，CM=1x，当 CN 与 BM 是对应边时，=，即 =解得 x= ，当 CN 与 AB 是对应边时，=，即 =，解得 x= 九年级相似三角形动点问题3综上所述，x 的值是 或 故答案为： 或 4.在ABC 中，P 是 AB 上
4、的动点（P 异于 A、B） ，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为 P（lx） （x 为自然数） （1）如图，A=90，B=C，当 BP=2PA 时，P（l1） 、P（l2）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中 l1BC，l2AC） ，此外，还有 1 条；（2）如图，C=90，B=30，当= 或 或 时，P（lx）截得的三角形面积为ABC 面积的 分析：（1）过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则APQABC，l3是第 3 条相似线； （2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有 4 条，注意不要遗漏
5、 解：（1）存在另外 1 条相似线如图 1 所示，过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则APQABC； 故答案为：1；（2）设 P（lx）截得的三角形面积为 S，S= SABC，则相似比为 1：2如图 2 所示，共有 4 条相似线：第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l1AC，= ；第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点，l2BC，= ；第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且= ，=；第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且= ，= ，= 故答案为： 或 或九年级相似三角形动点问题45如图，在 钝角三角形 ABC 中， AB=6cm，A C=
6、12cm，动 点 D 从 A 点 出发到 B 点 止，动点 E 从 C 点出发 到 A 点 止点 D 运 动的速度为 1cm/秒，点 E 运动的速度为 2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是 3 秒或 4.8 秒 71动点型； 分析： 如果以点 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，由 于 A 与 A 对应，那么分两种情况：D 与 B 对应； D 与 C 对应根据相似三角形的性质分别作答 解：如果两点同时运动，设运动 t 秒时，以点 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则 AD=t，CE=2t，AE=ACCE=122t当 D
7、 与 B 对应时，有ADEABCAD：AB=AE：AC，t：6=（122t）：12t=3；当 D 与 C 对应时，有ADEACBAD：AC=AE：AB，t：12=（122t）：6，t=4.8故当以点 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时， 运动的时间是 3 秒或 4.8 秒三解答题（共三解答题（共 19 小题）小题） 1如图，在ABC 中，AB=6cm，AC=12cm，动点 M 从点 A 出发，以 1cm秒的速度向点 B 运动，动点 N 从点 C 出发，以 2cm秒的速度向点 A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻 t，使得以点 A、M、N 为顶点的三角 形与ABC 相似，若存在，求
8、出 t 的值；若不存在，请说明理由九年级相似三角形动点问题5动点型 分析：首先设经过 t 秒时，AMN 与ABC 相似，可得 AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6） ，然后分别从当 MNBC 时，AMNABC 与当AMN=C 时，ANMABC 去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案 解：存在 t=3 秒或 4.8 秒，使以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似（无此过程不扣分） 设经过 t 秒时，AMN 与ABC 相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6） ，（1）当 MNBC 时，AMNABC， （1 分）则，即， （3 分）解得 t=3；（5 分）（
9、2）当AMN=C 时，ANMABC， （6 分）则，即， （8 分）解得 t=4.8；（10 分） 故所求 t 的值为 3 秒或 4.8 秒2已知AOB=90，OM 是AOB 的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与边 OA，OB 交于点 C，D 在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且 PG=PD，求POD 与PDG 的面积之比；（2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D，OD=1，另一直角边与直线 OA，直 线 OB 分别交于点 C，E，使以 P，D，E 为
10、顶点的三角形与OCD 相似，在图丙中作出图形，试求 OP 的长分析： （1）可通过构建全等三角形来求解；可根据相似比来求面积比 （2）分两种情况进行讨论：当 C 在 OA 上上时；当 C 在 OA 延长线上时； 解：（1）证明：过 P 作 PHOA，PNOB，垂足分别为 H，N，得HPN=90 HPC+CPN=90CPN+NPD=90HPC=NPD OM 是AOB 的平分线PH=PN 又PHC=PND=90PCHPDNPC=PD PC=PDPDG=45 POD=45PDG=PODGPD=DPOPODPDG九年级相似三角形动点问题6（2）若 PC 与边 OA 相交， PDECDO 令PDEOCD
11、CDO=PEDCE=CDCOEDOE=ODOP= ED=OD=1若 PC 与边 OA 的反向延长线相交 过 P 作 PHOA，PNOB，垂足分别为 H，N， PEDEDC 令PDEODCPDE=ODC OEC=PEDPDE=HCP PH=PN，RtPHCRtPNDHC=ND，PC=PDPDC=45PDO=PCH=22.5OPC=180POCOCP=22.5OP=OC设 OP=x，则 OH=ON=HC=DN=ODON=1HC=HO+OC=+x1=+xx=即 OP=3如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点 P 从 A 出发以每秒 2cm 的速度向终点 B 运动，同
12、 时动点 Q 也从点 A 出发以每秒 1cm 的速度向终点 E 运动设运动的时间为 t 秒解答下列问题： （1）当 0t3 时，以 A、P、Q 为顶点的三角形能与ADE 相似吗？（不必说理由） （2）连接 DQ，试求当 t 为何值时？ADQ 为等腰三角形 （3）求 t 为何值时？直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积716358 分析： （1）不能相似，因为相似时，只能AQP=90，QPA=30，而ADE 中的锐角不能为 30； （2）分为三种情况：当 AD=AQ=3cm 时，当 DA=DQ 时，过 D 作 DMAE 于 M，当 QA=QD 时，求 出 AQ 长即可； （3）连接 AC，取 A
13、C 中点 O（即 AO=OC） ，当直线 PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积，根据ROCPOA，求出 CR=AP=2t，得出 RE=2t2，EQ=5t，根据RQEPQA 得出=，代入求出即可解：（1）不能相似； （2）四边形 ABCD 是矩形，九年级相似三角形动点问题7DC=AB=6cm，ADC=90，分为三种情况：当 AD=AQ=3cm 时，此时 t=3； 当 DA=DQ 时，过 D 作 DMAE 于 M，在 RtADE 中，AD=3，DE=DCCE=6cm2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：SADE= ADDE= AEDM，DM=cm，在
14、 RtADM 中，由勾股定理得：AM= （cm） ，DMAQ，AD=DQ，AQ=2AM=cm（三线合一定理） ，即 t=； 当 QA=QD 时， 过 Q 作 QNAD 于 N，则 AN=ND= ，ADC=ANQ=90QNDC，DN=AN，EQ=AQ= AE= 5cm= cm，即 t=综合上述，当 t 为 3 秒或秒或 秒时，ADQ 是等腰三角形（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC） ，当直线 PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积， 四边形 ABCD 是矩形，DCAB，OCR=OAP， 在ROC 和POA 中，ROCPOA（ASA） ，CR=AP=2t，CE=
15、2，RE=2t2，EQ=5t，DCAB，RQEPQA，=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去） 即 t=3 秒时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积九年级相似三角形动点问题84已知：RtOAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为 OB 的中点，点 C 为折线 OAB 上的动点，线段 PC 把 RtOAB 分割成两部分在图上画出所有线段 PC，使分割得到的三角形与 RtOAB 相似，并直接写出点 C 的坐标7163分析： 根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得 PCAB，PCOA 时，分割得到的三角形与 Rt OAB 相似，根据网格结构写出此时点 C 的坐标即可； 又当 PCOB 时，分割得到的三角形与 RtOAB 也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出 OB 的长度，然后根据相 似三角形对应边成比例列式求出
