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1、初三数学专题讲座第 1 页 共 17 页二次函数综合题一览二次函数综合题一览抛物线中的面积问题抛物线中的面积问题1.的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴交于 Q（0，-3） ，与轴的交点cbxxy2yyx为 A、B，顶点为 P，SPAB的面积是 8，求解析式。2.已知抛物线，为何值时，抛物线与轴无交点；若抛物线与12) 1(2kkxxkykx轴交于 A、B 两点，与轴交于 C 点，且ABC 的面积为 4，求的值xyk3.抛物线与 x 轴的正半轴交于 A、B，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点 M 在cbxaxy2第四象限，已知 OA：OB=1：3，AMB=90，SAMB=16。(1)求抛物线的解析式
2、。(2)若抛 物线上有一点 P，使 SAPB=SCMB，求 P 点的坐标。 4.已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正22yaxxc(14)A，yCx半轴交于 （1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线交轴于是线段BACxDP， AD 上一动点（点异于） ，过作轴交直线于，过作轴于PAD，PPExABEEEFx ，F求当四边形的面积等于时点的坐标OPEF7 2P5.如图，已知抛物线与 x 轴相交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点(其中 x10，qpxxy2)，与 y 轴相交于点 C，且ACB=90，AB=2。若 D 点是 C 点关于 x 轴的对称1x2x2点。(1)求 C、D
3、两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)设 Q(x，y)是抛物线上的点，使 SQCD=3，求点 Q 的坐标。初三数学专题讲座第 2 页 共 17 页DBA OC6.抛物线的解析式满足四个条件：cbxaxy2；求这条抛物线的解析式；设该3; 0cbaabc4acbcab. cba抛物线与轴的两交点分别为、（在的左边） ，与轴的交点为，是抛物xABAByCP线上第一象限内的点，交轴于点，试比较与的大小.APyD5 . 1ODAODSDPCS7.平面直角坐标系已知抛物线的对称轴为xOy)85(31)25(2122mxmmxyx=,设抛物线与 y 轴交于 A 点,与 x 轴交于 B、C 两点（B 点
4、在 C 点的左边） ，锐角21ABC 的高 BE 交 AO 于点 H求抛物线的解析式； 在（1）中的抛物线上是否存在点 P，使 BP 将ABH 的面积分成 1：3 两部分？如果存在，求出 P 点的坐标；如果不存在， 请说明理由8.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线mn、2650xxmn的图象经过点 A()、B().（1）求这个抛物线的解析式；（2）2yxbxc ,0m0n， 设（1）中抛物线与轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D，试求出点 C、D 的坐标和x BCD 的面积；（3）若 P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PH轴，与抛物线交于 H 点，x 且直线 BC 把PCH 分成面
5、积之比为 2:3 的两部分，请求出 P 点的坐标.9.已知二次函数的图象过点、0 , 3A .0 , 1B （1）当这个二次函数的图象又过点时，求其解析式. 3 , 0C（2）设（1）中所求二次函数图象的顶点为 P，求的值.ABCAPCSS:（3）如果二次函数图象的顶点 M 在对称轴上移动，并与 y 轴交于点 D，的值ABDAMDSS:确定吗？为什么？初三数学专题讲座第 3 页 共 17 页10.已知开口向下的抛物线与轴交于 M、N 两点（点 N 在点 M 的右侧） ，并cbxaxy2x且 M 和 N 两点的横坐标分别是的两根，点是抛物线与轴的交点，0322 xxKy不小于（1）求 M 和 N
6、 两点的坐标；（2）求系数的取值范围；（3）在的MKN.90aa取值范围内，当取得最大值时，抛物线上是否存在点 P 使得？若存在，求出y32MPNS所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图二次函数的图象与轴只有一个公共点，与轴的交点为.过cbxxy2xPyQ点的直线与轴交于点，与二次函数的图象Qmxy 2xA交于另一点.若，求这个二次函数的解析BAPQBPQSS 3式.12.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺 时针旋转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线 的解析式
7、；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存 在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动 点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.BAOyx初三数学专题讲座第 4 页 共 17 页13.如图，已知抛物线与直线 y=x 交于 A、B 两点，与 y 轴交于点21(0)2yxmxnnC，OAOB，BCx 轴(1)求抛物线的解析式。(2)设 D、E 是线段 AB 上异于 A、B 的两 个动点(点 E 在点 D 的上方)，DE，过 D、E 两点分
8、别作 y 轴的平行线，交抛物线于2 F、G，若设 D 点的横坐标为 x，四边形 DEGF 的面积为 y，求 x 与 y 之间的关系式，写出 自变量 x 的取值范围，并回答 x 为何值时，y 有最大值14.已知：抛物线与x轴交于、两点，且1232122mxmxy0 ,1xA0 ,2xB抛物线与y轴交于点C，（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上，点, 0, 021xx.2AOBO A的左侧，求一点E，使与相似，并说明直线经过（1）中抛物线的顶点ECOCAOECD；（3）过（2）中的点E的直线与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过bxy41M、N作x轴的垂线，垂足为M、N，点P为线段MN上一点
9、，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q，是否存在t值，使若,12:35S:QMNNNMM梯形S存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由.抛物线与圆抛物线与圆 15.如图，已知两点、，以 AB 为直径作P 与轴负半轴交于 C 点，求)0 , 8(A)0 , 2(By 过 A、C 两点的直线解析式和过、三点的抛物线解析式；若点 M 是中抛物线 的顶点，求ABC 的面积及直线 MC 的解析式；判定中的直线 MC 与P 的位置关系，OyxABCMDP初三数学专题讲座第 5 页 共 17 页并说明理由。16.如图所示，在直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为，B
10、 点坐标，以)0 , 3()0 , 12( AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P，与轴的负半轴交于点 C，抛物线y经过 A、B、C 三点，其顶点为 M 求此抛物线的解析式； 设点 D 是抛cbxaxy2物线与P 的第四个交点（除 A、B、C 三点外） ，求直线 MD 的解析式； 判定中的 直线 MD 与P 的位置关系，并说明理由。17.抛物线的顶点为 M，与轴的交点为 A、B（点 B 在点 A 的右)0(2acbxaxyx侧） ，ABM 的三个内角M、A、B 所对的边分别为 m、a、b。若关于的一元二次方x程有两个相等的实数根。 （1）判断ABM 的形状，并说明0)(2)(2ambxxa
11、m理由。 （2）当顶点 M 的坐标为（2，1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大 致图形。 （3）若平行于轴的直线与抛物线交于 C、D 两点，以 CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。x18.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 x 轴交于点 A；抛物线kkxy4经过 O、A 两点.（1）试用含有字母 a 的代数式表示 b；（2）设抛物线的顶cbxaxy2点为 D，以点 D 为圆心，以 DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分，若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，且它所在的圆恰与 OD 相切，求D 的半径长及抛物 线的解析式；CBMyxADOP初三数学专题
12、讲座第 6 页 共 17 页19.已知抛物线与轴交于 A、B 两点，点在轴的负半轴上，点34 95 92 942mmxxyxAxB 在轴的正半轴上，的长是的长的 2 倍，点为抛物线的顶点；xBOAOC（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线的对称轴上，且P 与轴、直线 BC 都相切，求点 P 的坐标.x20.已知抛物线与轴交于 A、B 两点，且点 A 在轴的负半轴上，2122kxkxyxx点 B 在轴的正半轴上.（1）求实数的取值范围；（2）设 OA、OB 的长分别为、，xkab 且15，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，以 AB 为直径的D 与轴的a by 正半轴交于 P
13、点，过 P 点作D 的切线交轴于 E 点，求点 E 的坐标.x如图，在直角坐标系中，O 是坐标原点，A（3，0） 、B（m，）是以 OA 为直径的M56上的两点，且 tanAOB=,BHx 轴，垂足为 H21（1）求 H 点的坐标； （2）求图象经过 A、B、O 三点的二次函数的解析式； （3）设点 C 为（2）中的二次函数图象的顶点，问经过 B、C 两点的直线是否与M 相切，请说明理由.注：抛物线 yax2bxc（c0）的顶点为 abac ab 44 22 ，抛物线与相似三角形抛物线与相似三角形初三数学专题讲座第 7 页 共 17 页21.已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，是原点.cbxa
14、xy21, 4 y3 , 0CO求这条抛物线的解析式； 设该抛物线与轴的交点为、（在的左边） ，xABAB问在轴上是否存在点，使以、为顶点的三角形与相似？若存在，yPOBPAOC 请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.P22.如图已知半径为 1 的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆1OAxAB，OM1OAM心的坐标为，二次函数的图象经过两点 （1）求二次函数1O(2 0)，2yxbxc AB，的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以OMOMP为顶点的三角形与相似若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；POA，1OO MP若不存在，请说明理由23.如图所示，已知抛物线与
15、轴交于 A、B 两点，与轴交于点 C （1）求21yxxyA、B、C 三点的坐标 （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （3）在轴上方的抛物线上是否存x在一点 M，过 M 作 MG轴于点 G，使以 A、M、G 三点x为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由二次函数中的线段长度问题二次函数中的线段长度问题 24.已知：抛物线 yx2（a2）x9 的顶点在坐标轴上 （1）求 a 的值；（2）求 a0 时，该抛物线与直线 yx9 交于 A、B 两点，且 A 点在 B 点左侧，求点 A 和点 B 的坐标； （3）P 为（2）中线段 AB 上的点（A、B 两端点除外） ，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线交 于 Q线段 AB 上是否存在点 P，使 PQ 的长等于 6，若存在，请求出 P 点坐标；若不存在， 说明理由yxOABMO1CPByAox初三数学专题讲座第 8 页 共 17 页25.如图，已知 ( 4,0)A ，(0,4)B，现以 A 点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB 向右侧放大，B 点的对应点为 C （1）求
