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1、第 1 页（共 43 页）2017 年高考数学空间几何高考真题年高考数学空间几何高考真题一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题）1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）ABCD2已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）ABCD3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A60B30C20D10第 2 页
2、（共 43 页）5某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm2）是（ ）A+1B+3C+1D+36如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，=2，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP 的平面角为 、，则（ ）ABCD7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）第 3 页（共 43 页）A90 B63 C42 D361某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边
3、长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10B12C14D162已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为（ ）ABCD二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）8已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 9长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 10已知一个正方体的所有顶点
4、在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 11由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 第 4 页（共 43 页）12如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则的值是 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题）13如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积14如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD
5、 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线 BC平面 PAD；（2）若PCD 面积为 2，求四棱锥 PABCD 的体积第 5 页（共 43 页）15如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比16如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5（1）求三棱柱 ABCA1B1C1的体积；（2）设
6、 M 是 BC 中点，求直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小17如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面 BDE平面 PAC；（3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积第 6 页（共 43 页）18如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值19如图，已知四棱锥
7、PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点（）证明：CE平面 PAB；（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值20由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面ABCD，（）证明：A1O平面 B1CD1；第 7 页（共 43 页）（）设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD121如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点E
8、、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC3如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值4如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值第 8 页（共 43 页）5
9、如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PA=PD=，AB=4（1）求证：M 为 PB 的中点；（2）求二面角 BPDA 的大小；（3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值7如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC=90点
10、 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；第 9 页（共 43 页）（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的长8如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G 是的中点（）设 P 是上的一点，且 APBE，求CBP 的大小； （）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 EAGC 的大小第 10 页（共 43 页）2017 年高考数学空间几何高考真题年高考数学空间
11、几何高考真题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题）1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）ABCD【解答】解：对于选项 B，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意；对于选项 C，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 C 不满足题意；对于选项 D，由于 ABNQ，结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意；所以选项 A 满足题意，故选：A2已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（
12、）ABCD【解答】解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径 r=，第 11 页（共 43 页）该圆柱的体积：V=Sh=故选：B3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC【解答】解：法一：连 B1C，由题意得 BC1B1C，A1B1平面 B1BCC1，且 BC1平面 B1BCC1，A1B1BC1，A1B1B1C=B1，BC1平面 A1ECB1，A1E平面 A1ECB1，A1EBC1故选：C法二：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建
13、立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2，则 A1（2，0，2） ，E（0，1，0） ，B（2，2，0） ，D（0，0，0） ，C1（0，2，2） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，=（2，1，2） ，=（0，2，2） ，=（2，2，0） ，=（2，0，2） ，=（2，2，0） ，=2，=2，=0，=6，A1EBC1第 12 页（共 43 页）故选：C4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A60B30C20D10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积=10故选：D5某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位
14、：第 13 页（共 43 页）cm2）是（ ）A+1B+3C+1D+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 3，故该几何体的体积为123+3=+1，故选：A6如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，=2，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP 的平面角为 、，则（ ）第 14 页（共 43 页）ABCD【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面ABC 的中心为O不妨设 OP=3则 O
15、（0，0，0） ，P（0，3，0） ，C（0，6，0） ，D（0，0，6） ，Q，R，=，=（0，3，6） ，=（，5，0） ，=，=设平面 PDR 的法向量为 =（x，y，z） ，则，可得，可得 =，取平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） 则 cos=，取 =arccos同理可得：=arccos=arccos解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG设 OD=h则 tan=同理可得：tan=，tan=第 15 页（共 43 页）由已知可得：OEOGOFtantantan， 为锐角故选：B7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画
