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1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）数学（理科）第第一部分一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项项 （1） 【2014 年北京，理 1，5 分】已知集合，则（ ）2 |20Ax xx0,1,2B AB （A） （B）（C） （D）00,10,20,1,2 【答案】C【解析】集合故，故选 C 2|200 2Ax xx, 0
2、2AB ,（2） 【2014 年北京，理 2，5 分】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）(0,)（A） （B） （C） （D）1yx2(1)yx2xy0.5log(1)yx【答案】A【解析】对于 A，在上为增函数，符合题意，对于 B，在上为减函数，不1yx1 ，2(1)yx(01)，合题意，对于 C，为上的减函数，不合题意，对于 D，为2xy() ，0.5log(1)yx 上的减函数，不合题意，故选 A( 1) ，（3） 【2014 年北京，理 3，5 分】曲线（为参数）的对称中心（ ）1cos 2sinx y （A）在直线上 （B）在直线上 （C）在直线上（D）在直线上2yx2yx 1y
3、x1yx 【答案】B【解析】参数方程，所表示的曲线为圆心在，半径为 1 的圆1cos2sinxy ( 12) ，其对称中心为圆心逐个代入选项可知，在直线上，故选 B( 12) ，( 12) ，2yx （4） 【2014 年北京，理 4，5 分】当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为7,3mnS （ ） （A）7 （B）42 （C）210 （D）840 【答案】C 【解析】当输入的，时，判断框内的判断条件为故能进入循环的依次为 m7m 3n 5k k 7，6，5顺次执行，则有，故选 CSS k7 6 5210S （5） 【2014 年北京，理 5，5 分】设是公比为的等比数列，则“”是“”为递
4、增数naq1q na 列的（ ） （A）充分且不必要条件 （B）必要且不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对于等比数列，若，则当时有为递减数列故“”不能推出“为递增数列” na1q 10a na1q na 若为递增数列，则有可能满足且，推不出综上， “”为“为递增 na na10a 01q1q 1q na数列”的既不充分也不必要条件，故选 D（6） 【2014 年北京，理 6，5 分】若满足且的最小值为，则的值为（ ）, x y20 20 0xy kxy y zyx4k（A）2 （B） （C） （D）21 21 2x+y-2=0-2kkx-y+2=0
5、22Oyx2【答案】D 【解析】若，没有最小值，不合题意若，则不等式组所表示的平面区 0kzyx0k 域如图所示由图可知，在点处取最小值故，解得，故选zyx20k，204k 1 2k D （7） 【2014 年北京，理 7，5 分】在空间直角坐标系中，已知，Oxyz2,0,0A2,2,0B0,2,0C，若，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的面积，1,1, 2D1S2S2SDABCxOyyOzzOx则（ ） （A） （B）且 （C）且 （D）且123SSS12SS31SS13SS32SS23SS13SS【答案】D 【解析】在平面上的投影为，故，设在和平面上的投影 DABCxOyABC12
6、S DyOzzOx分别为和，则在和平面上的投影分别为和2D3DDABCyOzzOx2OCD3OAD，故，故选 D2012D，3102D，232SS（8） 【2014 年北京，理 8，5 分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三 种若 同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩ABBAB 好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一 样，数学成绩也一样的问满足条件的最多有多少学生（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 【答案】B 【解析】用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格显然语文成绩得 A 的学生最多只
7、有 1 个，语文成绩得 B 的也 最多只有 1 个，得 C 的也最多只有 1 个，因此学生最多只有 3 个显然， （AC） （BB） （CA）满足条 件，故学生最多 3 个，故选 B第第二部分二部分（非选择题（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题：共二、填空题：共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分（9） 【2014 年北京，理 9，5 分】复数 21i 1i 【答案】1【解析】复数，故21i(1i)2ii1i(1i)(1i)2221i()i11i （10） 【2014 年北京，理 10】已知向量、满足，且，则 a b 1a 2,1b 0abR【答案】5【解析】由
8、，有，于是，由，可得，又，故0abba | | |ba(21)b ，5b | 1a |5（11） 【2014 年北京，理 11，5 分】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为C2,22 214yxC_；渐近线方程为_【答案】，22 1312xy2yx 【解析】双曲线的渐近线为，故的渐近线为，设： 并将点代2 214yx2yx C2yx C2 2 4yxm(22)，入的方程，解得，故的方程为，即C3m C2 234yx 22 1312xy（12） 【2014 年北京，理 12，5 分】若等差数列满足，则当_时， na7890aaa7100aan 的前项和最大 nanD1OD3D2DCBA
9、zyx3【答案】8【解析】由等差数列的性质，于是有，故故78983aaaa71089aaaa80a 890aa90a ，为的前 项和中的最大值87SS98SS8SnannS（13） 【2014 年北京，理 13，5 分】把 5 件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有AC _种 【答案】36【解析】先只考虑与产品相邻此时用捆绑法，将和作为一个元素考虑，共有种方法而ABAB4 424A 和有 2 种摆放顺序，故总计种方法再排除既满足与相邻，又满足与相邻的情AB242=48ABAC况，此时用捆绑法，将作为一个元素考虑，共有种方法，而有 2 种可能的摆ABC，3 3A6ABC，放顺序，
10、故总计种方法综上，符合题意的摆放共有种62=12481236（14） 【2014 年北京，理 14，5 分】设函数，若在学科网区间上具( )sin()f xx0A 0( )f x,6 2 有单调性，且，则的最小正周期为_2 236fff ( )f x【答案】【解析】由在区间上具有单调性，且知，有对称中心，由 f x 62 26ff f x03知有对称轴，记为最小正周期，则，223ff f x1 272 2312xT12 2263TT从而71234TT三、解答题：共三、解答题：共 6 题，共题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【
11、2014 年北京，理 15，13 分】如图，在中，点在边上，且ABC3B8AB DBC，2CD 1cos7ADC（1）求；sinBAD （2）求，的长BDAC解：（1）在中，因为，所以ADC1 7COSADC4 3sin7ADC所以4 31133 3sinsin()sincoscossin727214BADADCBADCBADCB（2）在中，由正弦定理得，ABD3 38sin143sin4 3 7ABBADBDADB在中，由余弦定理得，所以ABC2222212cos852 8 5492ACABBCAB BCB 7AC （16） 【2014 年北京，理 16，13 分】李明在 10 场篮球比赛中
12、的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）： 场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场 1188主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512 （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率；0.64（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过0.6 概0.6 率； （3）记是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中xX 次 数，比较与的大小（只需写出结论）()E Xx 解：（1）李明在该场比赛中
13、命中率超过的概率有：主场 2主场 3主场 5客场 2客场 40.6所以李明在该场比赛中投篮命中超过的概率0.651 102P （2）李明主场命中率超过概率，命中率不超过的概率为，客场中命中率超过概0.613 5P 0.61215P0.6率，命中率不超过的概率为22 5P 0.62315P332213 555525P （3） E Xx（17） 【2014 年北京，理 17，14 分】如图，正方形的边长为 2，分别为 的中点，在五棱AMDE,B C,AM MD锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点PABCDEFPEABF,PD PC,G H （1）求证：；/ /ABFG （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，求线段的长PA ABCDEAFPEBCABFPH 解：（1），面，面面AMED/ /AM PEDED PEDAM PED 面，即面，面面AM ABFAB ABFABF PDEFGABFG（2）如图建立空间直角坐标系，各点坐标如下, Axyz0,0,0A0,2,0E1,0,0B,，设面的法向量为，2,1,0C0,1,1F0,0,
