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1、五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 0 of 7模块一、数论中的极端思想【例例 1】1 18 8 这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四 位数各是多少？位数各是多少？ 【8531 和 7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是 8，7，百位分别是 6，5。两 数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是 85，另一个数的前两位是 76。同 理可确定十位和个位数.【巩固巩固】 两个自然数的和是两个自然数的和是 1515，要使两个整数的乘积最大，
2、这两个整数各是多少？，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 【将两个自然数的和为 15 的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面 7 种情 况： 15=1+14，114=14； 15=2+13，213=26； 15=3+12，312=36； 15=4+11，411=44； 15=5+10，510=50； 15=6+9，69=54； 15=7+8，78=56。 由此可知把 15 分成 7 与 8 之和，这两数的乘积最大。 结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两 个数相等时，他们的乘积最大.【巩固巩固】 两个自然数的积是两个自然数
3、的积是 4848，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 【48 的约数从小到大依次是 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，两个自然数的乘积是 48，共有以下 5 种情况：48=148，1+48=49；48=224，2+24=26；48=316，3+16=19；48=412，4+12=16； 48=68，6+8=14。 两个因数之和最小的是 6+8=14。 结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。【例例 2】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为有一类自然数，
4、从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为 止，如止，如 257257，14591459 等等，这类数中最大的自然数是多少？等等，这类数中最大的自然数是多少？ 【要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故 10112358 满足条 件如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能 地小，取 1 与 0【例例 3】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为 2003，那么这类自然数中最小的是几？，那么这类自然数中最小的是几？ 【一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求
5、高位的数值尽可能地小.由于各数位 上的和固定为 2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取 9，而第七讲：最大与最小五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 1 of 720039=2225，所以满足条件的最小自然数为： 2229599.9个【例例 4】将前将前 100100 个自然数依次无间隔地写成一个个自然数依次无间隔地写成一个 192192 位数：位数：1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 129899100129899100 从中划去从中划去 100100 个数字，那么剩下的个数字，那么剩下的 9292 位数最大是
6、多少？最小是多少？位数最大是多少？最小是多少？ 【要得到最大的数，左边应尽量多地保留 9。因为 159 中有 109 个数码，其中有 6 个 9，要想左 边保留 6 个 9，必须划掉 159 中的 109-6103（个）数码，剩下的数码只有 192103=89（个） ，不合题意，所以左边只能保留 5 个 9，即保留 149 中的 5 个 9，划掉 149 中其余的 84 个 数码。然后，在后面再划掉 16 个数码，尽量保留大数（见下图）：所求最大数是 999997859606199100。 同理，要得到最小的数，左边第一个数是 1，之后应尽量保留 0。250 中有 90 个数码，其中有 5 个
7、 0，划掉其余 90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉 15 个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是 10000012340616299100。【例例 5】把把 1717 分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 【假设分成的自然数中有 1，a 是分成的另一个自然数，因为 1a1+a，也就是说，将 1+a 作为 分成的一个自然数要比分成 1 和 a 两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有 1。如果分成的 自然数中有大于 4 的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自 然数。例如，5=2+323，8=3+
8、535。也就是说，只要有大于 4 的数，这个数就可以再分， 所以分成的自然数中不应该有大于 4 的数。如果分成的自然数中有 4，因为 4=2+2=22，所以 可以将 4 分成两个 2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有 2 和 3 两种。因为 2+2+2=6，222=8，3+3=6，33=9，说明虽然三个 2 与两个 3 的和都是 6，但两个 3 的乘积 大于三个 2 的乘积，所以分成的自然数中最多有两个 2，其余都是 3。由此得到，将 17 分为五 个 3 与一个 2 时乘积最大，为 333332=486。结论：整数分拆的原则：不拆 1，少拆 2，多拆 3。【巩固巩固】 把把 1414 拆
9、成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【14 拆成 3、3、3、3、2 时，积为 33332=162 最大.【例例 6】某国家的货币中有某国家的货币中有 1 1 元、元、3 3 元、元、5 5 元、元、7 7 元、元、9 9 元五种，为了能支付元五种，为了能支付 1 1 元、元、2 2 元元100100 元的钱元的钱 数（整数元）数（整数元） ，那么至少需要准备货币多少张？，那么至少需要准备货币多少张？ 【为了使货币越少越好，那么 9 元的货币应该尽量多才行。当有 10 张 9 元时，容易看出 1、1、3、5
10、 这四张加上后就可以满足条件。当 9 元的货币超过 11 张时，找不到比 14 张更少的 方案。当 9 元的货币少于 10 张时，至少有 19 元需要由 5 元以下的货币构成，且 1 元的货币至 少 2 张，这样也找不到比 14 张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要 10 张 9 元的、2 张 1 元的、1 张 3 元的、1 张 5 元的，共 14 张货币。 【例例 7】在五位数在五位数 22576 的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？ 【225776【巩固巩固】 在六位数在六位数 865473 的某一
11、位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？ 【8654473.【例例 8】设自然数设自然数 n n 有下列性质：从有下列性质：从 1 1、2n2n 中任取中任取 5050 个不同的数，其中必有两数之差等于个不同的数，其中必有两数之差等于 7 7，这样，这样 的的 n n 最大不能超过多少？最大不能超过多少？ 【当 n=98 时，将 1、298 按每组中两数的差为 7 的规则分组：1，8、2、9、7，14、 15，2290，97、91、98。一共有 49 组，所以当任取 50 个数时，必有两个数在同一 组，他们的差等于
12、7。当 n=99 时，取上面每组中的前一个数，即 1、27、1521、2935、4349、5763、7177、8591 和 99 一共是 50 个数，而它们中任 2 个的差不为 7。因此 n 最大不能超过 98。五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 2 of 7【例例 9】在在 1010，9 9，8 8，7 7，6 6，5 5，4 4，3 3，2 2，1 1 这这 1010 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减 号，组成一个算式。要求：（号，组成一个算式。要求：（1 1）算式的结果等于）算式的结果等于 3737；（；（2 2）这个
13、算式中的所有减数（前面添了）这个算式中的所有减数（前面添了 减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？ 【把 10 个数都添上加号，它们的和是 55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成 为减数，那么和数将要减少这个数的 2 倍。因为 55-3718，所以我们变成减数的这些数之和是 182=9。对于大于 2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大， 减数越多越好（不包括 1） 。9 最多可拆成三数之和 234=9，因此这些减数的最大乘积是 23424，添上加、减号的算式是：10
14、9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。模块二、智巧趣题中的极端思想模块二、智巧趣题中的极端思想【例例 10】 9999 个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要 有一个苹果问：这群小朋友最多有几位有一个苹果问：这群小朋友最多有几位? ? 【1+2+3+13=9199，1+2+3+14=10599，说明若 13 位各分得 1，2，3，13 个苹果， 未分完 99 个，若 14 位各分得 1，2，3，14 个苹果，则超出 99 个因 91+8=99，在 13 位上 述分法
15、中若把剩下的 8 个苹果分别加到后 8 位人上，就可得合题意的一个分法：13 人依次分 1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14 个所以最多有 13 位小朋友(注：13 人的分 法不唯一)【例例 11】 （第四届希望杯（第四届希望杯 1 试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了 5 次，每次的搬运量相同，运次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的到的货物比这批货物的多一些，比多一些，比少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 3 53 4 次，最多共要运次，最多共要运 次。次。 【这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法：假定假定 5 次运的恰好等于次运的恰好等于，则每一次最少运，则每一次最少运5=5=，所以最多运
