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1、 湖南省岳阳县第一中学湖南省岳阳县第一中学 20142014 年物理奥赛教案年物理奥赛教案第七讲 静电场知识要点：库仑定律。电荷守恒定律。电场强度。电场线。点电荷的场强，场强叠加原理。均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）。匀强电场。电场中的导体。静电屏蔽。电势和电势差。等势面。点电荷电场的电势公式（不要求导出）。电势叠加原理。均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）。电容。电容器的连接。平行板电容器的电容公式（不要求导出）。电容器充电后的电能。电介质的极化。介电常数。一、电场强度电场强度是一个从力的角度描述电场的物理量，定义式为：E=F/q根据库仑定律，两个点电荷之间的作
2、用力为F=kQq r2其中 F 既与形成电场的电荷 Q 有关，又与检验电荷 q 有关。用 F/q 来定义电场可以理解为从 F 中删去外界因素(即检验电荷 q)剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这种思想。1、电场强度的叠加根据力的叠加原理，如果空间某一点受到不止一个电荷的影响，则它们形成的电场可以叠加，因为场是一个矢量，所以必须用矢量的平行四边形法则来叠加。有一个均匀带电圆环，半径为 R，所带电量为 Q，圆环轴线上离环心 O为 r 处有一点 P，那么圆环上每一部分电荷都会在 P 点产生自己的分电场，要求 P 的场强 EP，就需要把各分电场叠加起来。
3、在圆环上取很短的一段L(可以看成点电荷)，所带电量为 q=，它在 P 点产生的分电场大小Q2L L为：E=kQ Lcos22Rr2根据对称性，圆环上小电荷在 P 点的场强垂直于轴方向的分量Ey都相互抵消，而平行于轴方向的分量相互叠加加强Ex Ey EPrROEx=kQ Lcos32Rr2故合场强的大小为：EP=Ex=kQ 2Rcos32Rr2kQr (R2 + r2)3/2注意：从这个结论可看出，当 r=0，即 P 点在圆心 O 时，EP=0；当 rR 时，EP=，此时可将圆环kQ r2看成一个点电荷。2、均匀带电球壳内、外的电场用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零
4、。如图中 P 点的场强可以这样来分析：过 P 点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积A 和 B(可看成两个点电荷 qA和 qB)，如图所示，由几何相似不难看出，A、B 的面积和它们到 P 点的距离的平方 rA2和 rB2成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和rA2和 rB2成正比。根据库仑定律，可知点电荷 qA和 qB在 P 点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳 O(或球体)外某一点 P 的场强为：EP=kQ r2式中 r 是 OP 的距离，Q 是
5、球壳(或球体)带的总电量，即在研究均匀带电球壳(或球体)外的场强时，可以把球壳(或球体)所带电量看做集中在球心上，而与球壳(或球体的半径)无关。【例 1】如图所示为一个均匀带电的同心球层，内半径为 R1，外半径为 R2，其体电荷密度为，试求各处的场强大小。解析：【例 2】 如图所示，一个均匀带电的薄半球壳，电量为 Q，求球心 O 处的场强。PBArArBPROrR1R2解析：【例 3】一无限长均匀带电细线变成如图所示的平面图形，其中 AB 是半径为 R 的半圆弧，AA平行于 BB，试求圆心 O 处的电场强度。解： 【例 4】如图 a 所示，已知半球体球面上均匀带正电，半径为 R。现将半球体沿图
6、中虚线分成两半，并将它们移至很远的地方，如图 b 所示，设分开后球上仍然均匀带电，则球冠在 A产生的场强 E1和球台在 A产生的场强 E2的方向如何？大小关系如何？解析：二、静电感应一个导体在电场中产生静电感应的现象，这是一个与电场叠加有关的问题。达到静电平衡时，外界电场和感应电荷的电场在导体内部的合场强为零。因此导体有如下性质：导体是等势体，导体表面是等势面(电势是指总电势)；导体表面处的合场强不为零，方向总是垂直于导体表面；电荷分布在导体表面上。【例 5】一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧离板 d 的A 处放置一个R/2 R/2 (a)OQOAABBd-q A负电荷 q，求静电平衡后：(
7、A)板上感应在导体内任意一点 P 产生的场强；(B)感应电荷在导体外任意一点 P处产生的场强；(C)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；(D)求-q 所受的库仑力；(E)若切断接地线后，将+Q 放在导体板上，+Q 将怎样分布？解析：三、电势电势 U 是从能量的角度来描述电场的物理量。定义式为U=E/q其中 E 表示 q 在电场中某点的电势能，这个量显然是与 q 的大小、正负有关的，将 U 定义成 E/q 与将电场强度定义为 F/q 的目的是一样的，是为了从 E 量中删除外加因素量 q，剩下的便是纯粹的场因素量了。1、均匀带电导体球壳的电势设均匀带电球壳的电量为 Q，半径为 R，由于均匀带
8、电球壳在壳外产生场强与电荷集中在球心时相同，因此，离球心 R 处的电势为U=kQ R这就是这一均匀带电球壳的电势。对于静电平衡的导体，球壳内场强处处为零，因此，整个球形区域是等势的，电势均为。kQR球壳外离球心 r(rR)处的电势为(原因是均匀带电球可看作点电荷)：U=kQ r2、电势的叠加电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。【例 6】如图所示，球形金属腔带电量为 Q，内半径为 a，外半径为 b，腔内距球心 O 为 r 处有一点电荷 q，求圆心 O 处的电势。解析：【例 7】如图所示，一个带正电的绝缘导体球壳 A，顶部开一个小孔，有两个带正电小
9、球 B 和 C 用导线相连，将 B 与球壳内壁接触一下后提到球壳中心，C 离 A 较远，此时，B、C 是否带电？若将 C 接地，再分析 B、C 的带电情况。解析：【例 8】真空中,有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳,他们的半径分别为 R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于 P 点。球心分别为 O1 ,O2 O3 O4 O5 ,求 O1 与 O5间的电势差.(第 15 届预赛试题)解析：【例 9】如图所示，半径为 R1的导体球带电量 q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为 R2和 R3。今在距球心为d(R3)处放一电量为 Q 的点电荷，并将导体球壳接地，试问：(1)球壳
10、带的总电量是多少？(2)如果用导线将壳内导体球与壳连接，球壳带电量是多少？BACR1R2R3QdabqO1O2O3O4O5P解析：【例 10】半径分别为 R1和 R2的两个同心半球面相对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为1和2，求大半球面的径 AOB 上电势的分布。解析：【例 11】电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R，CD 通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线，如图所示，P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧且离 O 点距离相等的两点。已知 P 点的电势为 UP，试求 Q 点的电势 UQ。(第八届预赛试题)解析：ABR1 R2OCDABCO PQD【例 12】如图
11、所示，在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为 r(ra)的正方形的四个顶点上。首先让球 1 带电荷Q(Q0)，然后，取一细金属丝，其一端固定于球 1 点，另一端分别依次与球2、3、4 及大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡，设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量表达式。解析：【例 13】有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地金属罩，罩内充有一定压强的气体，假定是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳，如图所示，仪器工作时要求电极与金属之间的电势差为 U0，选择适当的电极半径 R1和球壳半径 R2，有可能使靠近电极表面处的场强
12、低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿。(1)若 R1已给定，则在理想情况下，R2取何值，电极处的场强有最小值？(2)在实际情况中往往适当选择 R1/R2之值，使电极处的场强为上述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强，求当电极处的场强为上述最小值的 4 倍时，R1/R2应选何值？解析：【例 14】在一个半径为 R 的导体球外，有一个半径为 r 的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为 a(aR 时，EP=，此时可将圆环kQ r2看成一个点电荷。小结：微元法的应用；“求和”的方法。2、均匀带电球壳内、外的电场用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零。如图中 P 点的场强可以这
13、样来分析：过 P 点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积 A 和 B(可看成两个点电荷 qA和 qB)，如图所示，由几何相似不难看出，A、B 的面积和它们到 P 点的距离的平方 rA2和 rB2成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和 rA2和 rB2成正比。根据库仑定律，可知点电荷qA和 qB在 P 点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳 O(或球体)外某一点 P 的场强为：EP=kQ r2式中 r 是 OP 的距离，Q 是球壳(或球体)带的总电量，
14、即在研究均匀带电球壳(或球体)外的场强时，可以把球壳(或球体)所带电量看做集中在球心上，而与球壳(或球体的半径)无关。3、均匀带电无限大薄板产生的电场均匀带电无限大薄板产生的电场是匀强电场，设该平面的面电荷密度为，则可求出该匀强电场的场强大小为PBArArBPROrE=2K上式表明，均匀带电的无限大平面薄板产生的电场中的场强大小只跟板上的电荷面密度成正比，与到板的距离远近无关。两个带有等量异号电荷且面电荷密度为的无限大带电平板平行放置时，由场强叠加原理可知，两板内侧场强大小 E 内=4K，板外侧电场大小为 E外=0。4、无限长均匀带电直线（电荷线密度为 ）：E = rk2 【例 1】如图所示为
15、一个均匀带电的同心球层，内半径为 R1，外半径为 R2，其体电荷密度为，试求各处的场强大小。解析：当 rR)处的电势为(原因是均匀带电球可看作点电荷)：U=kQ r2、电势的叠加电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。【例 6】如图所示，球形金属腔带电量为 Q，内半径为 a，外半径为 b，腔内距球心 O 为 r 处有一点电荷 q，求圆心 O 处的电势。解析：由电场线的性质可知，从 q 出发的电场线全部终止于球形空腔的内壁，其故内壁带电量为-q，但分布不均匀。由电荷守恒定律可知，空腔外表面的电荷为 Q+q，其电荷为均匀分布，因此，球心 O 处的电势为
16、上述三种电荷产生的电势的叠加。即U0=-+KqrKqaKQ + qb小结：本题主要考查电势叠加原理。【例 7】如图所示，一个带正电的绝缘导体球壳 A，顶部开一个小孔，有两个带正电小球 B 和 C 用导线相连，将 B 与球壳内壁接触一下后提到球壳中心，C 离 A 较远，此时，B、C 是否带电？若将 C 接地，再分析 B、C 的带电情况。解析：当 B 与 A 内壁接触后，A、B、C 三者等势，B 不带电。由于 C 离 A 较远，A 上电荷在 C 处产生的电势 UA较低，故 C 必带正电，才能使 A 上所带电荷与 C 上电荷在 C 处产生电势的代数和等于UA，构成等势体。C 接地后，UB=UC=0，因为 A 上正电荷在 B 处产生的电势为正，故 B 上电荷在 B 处产生的电势必为负，才可以使得 B 处的电势为零，即 B 带负电。由于 A 球壳上的电荷在 B 的电势为，故 B 球上电荷kQAR在 B 点处的电势为-，又 B 上电荷产生的电势为，因为 Rr，故 QAQB
