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1、一、习题详解：一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故；L, 7 , 6 , 5 1 (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：；12,11, 4 , 3 , 2 2 L (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以；L, 2 , 1 , 0 3 (4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是
2、一大一小，故： ;51, 4 jijip (5) 检查两件产品是否合格; 解：用 0 表示合格, 1 表示不合格，则； 1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 0 5 (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2); 解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：xy ； 216 ,TyxTyxp (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：；20 7 pp xx (8) 在长为 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.l 解：；lyxyxyx, 0, 0, 8 ff 1.2 设 A，B，
3、C 为三事件, 用 A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与 B 都发生, 但 C 不发生; ；CAB (2) A 发生, 且 B 与 C 至少有一个发生;；)(CBA (3) A,B,C 中至少有一个发生; ；CBA (4) A,B,C 中恰有一个发生;；CBACBACBA (5) A,B,C 中至少有两个发生; ；BCACAB (6) A,B,C 中至多有一个发生;； (7) A;B;C 中至多有两个发生;； CBCABA ABC (8) A,B,C 中恰有两个发生. ；CABCBABCA 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的
4、表示方式。 1.3 设样本空间, 事件=,20xxA15 . 0 xx6 . 18 . 0xxBp 具体写出下列各事件： (1) ; (2) ; (3) ; (4) ABBABABA （1）；AB18 . 0xxp (2) =；BA8 . 05 . 0 xx (3) =; BA28 . 05 . 00xxxp (4) =BA26 . 15 . 00xxxp 1.4 用作图法说明下列各命题成立： 略 1.5 用作图法说明下列各命题成立： 略 1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.)()(),(),(),(BPAPABPBAPAP 解：由于故，而由加法公式，有：),(,BAAAAB)()()(
5、BAPAPABP )()()(BPAPBAP 1.7 若 W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且 P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛; (2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛. 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： 175. 0)()()()(WEPEPWPEWP (2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事WEWWE, 件 概率为：1 . 0)()()(WEPWPEWP (3) 昆虫未出
6、现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.825 . 0 )(1)(EWPEWP 1.8 设 A 与 B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问： (1) 在什么条件下 P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条件下 P(AB) 取到最小值? 最小值是多少? 解：(1) 由于，故显然当时 P(AB) BABAAB,),()(),()(BPABPAPABPBA 取到最大值。 最大值是 0.6. (2) 由于。显然当时 P(AB) 取到最)()()()(BAPBPAPABP1)(BAP 小值，最小值是 0.4. 1.9 设 P(A) = 0.2, P(B) =
7、0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率. 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：CBA, 7 . 0)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP 1.10 计算下列各题： (1) 设 P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求 P(AB); (2) 设 P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求 P(AB); (3) 设 P(AB) = P(A B); P(A) =
8、 0.3, 求 P(B)。 解： （1）通过作图，可以知道，3 . 0)()()(BPBAPBAP （2）6 . 0)()(1)(1)(BAPAPABPABP 7 . 0)(1)( )()()(1 )()()(1)(1)()()3( APBP ABPBPAP ABPBPAPBAPBAPABP由于 1.11 把 3 个球随机地放入 4 个杯子中，求有球最多的杯子中球数是 1，2，3 概率各为多少？ 解：用表示事件“杯中球的最大个数为 个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有 i Aii 种，每种放法等可能。4 4 464 对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种，故 1
9、A 8 3 )( 1 AP (选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)。 对事件：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 A 3 个球，选法有 4 种)，故。 16 1 )( 3 AP 16 9 16 1 8 3 1)( 2 AP 1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为 3; 4; 5 的概率各是多少? 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36。.出现点数和 为“3”对应两个基本事件（1，2） ， （2，1） 。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为。 18 1 同理可以求得前后两次出现的点数之
10、和为 4，5 的概率各是。 9 1 , 12 1 1.13 在整数中任取三个数, 求下列事件的概率：9, 2 , 1 , 0L (1) 三个数中最小的一个是 5; (2) 三个数中最大的一个是 5. 解：从 10 个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为 120。120 3 10 C (1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个，取法 有种，故所求概率为。6 2 4 C 20 1 (2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法 有种，故所求概率为。10 2 5 C 12 1 1.14 12 只乒乓球
11、中有 4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这 12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解：分别用表示事件： 321 ,AAA (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则 。, 11 1 66 6 )(, 33 14 66 28 )( 2 12 2 4 2 2 12 2 8 1 C C AP C C AP 33 16 )()(1)( 213 APAPAP 1.15 已知，, 求4 . 0)(, 7 . 0)(BPAP5 . 0)(BAP).)(BBAP
12、解： )( )()( )( )( )( BP BBABP BP BBAP BBAP 由于，故0)(BBP5 . 0 )( )()( )( )( )( BP BAPAP BP ABP BBAP 1.16 已知,。 计算下列二式：4 . 0)(, 6 . 0)(BPAP5 . 0)(BAP (1) （2）);(BAP);(BAP 解：（1）; 8 . 05 . 04 . 01)()(1)()()()(BAPBPABPBPAPBAP （2）()( )( )()0.8( ) ()0.80.4 0.50.6;P ABP AP BP ABP B P A B 注意：因为，所以。5 . 0)(BAP5 . 0
13、)(1)(BAPBAP 1.17 一批产品共 20 件, 其中有 5 件是次品, 其余为正品。现从这 20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率： (1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品. 解：用表示事件“第 次取到的是正品” （） ，则表示事件“第 次取到的是 i Ai3 , 2 , 1i i Ai 次品” （） 。3 , 2 , 1i 112121 15331421 (), ()() () 20441938 P AP A AP A P A A (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下,
14、 第三次取到次品”的概率为： 。 312 5 () 18 P A A A (2) 事件“第三次才取到次品”的概率为： 123121312 1514535 ()() () () 201918228 P A A AP A P A A P A A A （3）事件“第三次取到次品”的概率为： 4 1 此题要注意区分事件（1） 、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如， 设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第 次取到的是正品” i Ai （） ，2 , 1i 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件1)( 12 AAP “第二次才取到次品”的
15、概率为：。区别是显然的。 2 1 )()()( 12121 AAPAPAAP 1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共 14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二 批有 10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二 箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。 解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 ” 。用表示事件“从)2 , 1 , 0( iAiiB 第二箱中取到的是次品” 。则 2112 121222 012 222 141414 66241 (), (), (), 919191 CCCC P AP AP A CCC ， 0 1 () 12 P B A 1 2 () 12 P B A 2 3 () 12 P B A 根据全概率公式，有： 28 3 )()()()()()()( 221100 ABPAPABPAPABPAPBP 1.19 一等小麦种子中混有 5%的二等种子和 3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长 出的穗有 50 颗以上麦粒的概率分别为 50%,
