《椭圆经典例题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆经典例题讲解（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆椭圆1椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于21FF)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是 来源:学科网 ZXXK当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹不存在(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e，且e 的点的轨迹叫椭圆定点 F 是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 2椭圆的标准方程(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222 by ax，其中( 0，且2a )(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222 bx ay，其中a，b满足： （3）焦
2、点在哪个轴上如何判断？3椭圆的几何性质(对12222 by ax,a b 0 进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： (4) 离心率：e ( 与 的比)，e ，e越接近 1，椭圆越 ；e越接近 0，椭圆越接近于 (5) 焦半径公式：设21,FF分别为椭圆的左、右焦点，),(00yxP是椭圆上一点，则1PF ，122PFaPF= 。4焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：2 1r2 2r2r1r2cos(2c)2(3) 面积：2
3、1FPFS21r1r2 sin212c| y0 |(其中 P(00, yx)为椭圆上一点，基础过关基础过关|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)变式训练 2：已知P（x0,y0）是椭圆12222 by ax（ab0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（ar）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=.)(221|211raraPF故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内
4、切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例 3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F与抛物线24yx 的焦点重合，过1F的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当直线l与x轴垂直时，2 2CD AB（1）求椭圆的方程；（2）求过点 O、1F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22F A F B 的最大值和最小值解：（1）由抛物线方程，得焦点1( 1,0)F 设椭圆的方程：)0( 12222 baby ax 解方程组241yxx 得C（-1，2） ，D（1，-2） 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，11|2 2|FCCD F AAB，12|2F A ， 2(
5、1,)2A 2 分221112ab又1222cba，典型例题典型例题因此，2211112bb，解得21b 并推得22a 故椭圆的方程为2 212xy 4 分（2）2,1,1abc， 圆过点 O、1F，圆心 M 在直线1 2x 上设1(, ),2Mt则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，13()( 2).22r 由,OMr得2213(),22t解得2.t 所求圆的方程为2219()(2).24xy8 分（3） 由12( 1,0),(1,0)FF点若AB垂直于x轴，则)22, 1(),22, 1(BA，2222( 2,),( 2,)22F AF B ，2217422F A F B 9 分若AB与x轴
6、不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为) 1( xky由 022) 1(22yxxky得 0) 1(24)21 (2222kxkxk0882k，方程有两个不等的实数根设),(11yxA，),(22yxB.来源:学。科。网2221214 kkxx, 222121) 1(2 kkxx11 分), 1(), 1(222112yxBFyxAF) 1)(1() 1)(1() 1)(1(212 21212122xxkxxyyxxBFAF2 212 2121)(1()1 (kxxkxxk2 22 2 22 21)214)(1(21) 1(2)1 (kkkkkkk=)21 (29 27 211722
7、2kkk 12110 , 121 , 0222kkk 27, 122BFAF，所以当直线l垂于x轴时，BFAF22取得最大值27当直线l与x轴重合时，BFAF22取得最小值1变式训练 3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：ABC的周长为 22.记动点C的轨迹为 曲线W.2(1)求W的方程；(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，2求k的取值范围；（3）已知点M（，0） ，N（0, 1） ，在()的条件下，是否存在常数k，使得向量2OPOQ 与MN 共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：() 设
8、C（x, y）, 22 2ACBCAB, 2AB , 2 22ACBC, 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 2的椭圆除去与x轴的两个交2点. 2, =1ac. 2221bac.来源:学科网 W: 2 212xy(0)y . (2) 设直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程，得2 2(2)12xkx.整理，得221()2 2102kxkx . yxOCBAM F因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于222184()4202kkk ，解得2 2k 或2 2k . 满足条件的k的取值范围为 22,)(,)22k （3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OPOQ （x1+x2
9、，y1+y2),由得1224 2 12kxxk . 又1212()2 2yyk xx 因为( 2, 0)M，(0, 1)N， 所以(2, 1)MN .所以OPOQ 与MN 共线等价于1212()xxyy=-2.将代入上式，解得2 2k .所以不存在常数k，使得向量OPOQ 与MN 共线.例 4. 已知椭圆 W 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为6 3，两条准线间的距离为 6. 椭圆 W 的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆 W 交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C.（1）求椭圆 W 的方程；（2）求证：CFFB (R)；（3）求MBC面积S的最大值.
10、 解：（1）设椭圆 W 的方程为22221xy ab，由题意可知22226,3 ,26,c a abca c 解得6a ，2c ，2b ，所以椭圆 W 的方程为22 162xy4 分（2）解法 1：因为左准线方程为2 3axc ，所以点M坐标为( 3,0).于是可设直线l 的方程为(3)yk x22(3),162yk xxy得2222(1 3)182760kxk xk.由直线l与椭圆 W 交于A、B两点，可知2222(18)4(1 3)(276)0kkk ，解得22 3k 设点A，B的坐标分别为11( ,)x y，22(,)xy,则212218 1 3kxxk，2122276 1 3kx xk
11、，11(3)yk x，22(3)yk x因为( 2,0)F ，11( ,)C xy，所以11(2,)FCxy ，22(2,)FBxy .又因为1221(2)(2)()xyxy1221(2) (3)(2) (3)xk xxk x121225() 12kx xxx2222541290121 31 3kkkkk2222(5412901236)01 3kkkk k，所以CFFB 10 分解法 2：因为左准线方程为2 3axc ，所以点M坐标为( 3,0).于是可设直线l的方程为(3)yk x，点A，B的坐标分别为11( ,)x y，22(,)xy,则点C的坐标为11( ,)xy，11(3)yk x，2
12、2(3)yk x由椭圆的第二定义可得22113| |3|xyFB FCxy,所以B，F，C三点共线，即CFFB 10 分(3)由题意知1211|22SMFyMFy121| |2MFyy121| ()6 |2k xxk23| 1 3k k333 122 33|kk ，当且仅当21 3k 时“=”成立，所以MBC面积S的最大值为32变式训练 4：设1F、2F分别是椭圆22 154xy+=的左、右焦点. （1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求21PFPF 的最大值和最小值；（2）是否存在过点 A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点 C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）易知)0 , 1 (),0 , 1(, 1, 2,521FFcba 设 P（x，y） ，则1),1 (),1(22 21yxyxyxPFPF3511544222xxx 5,5x，0x当，即点 P 为椭圆短轴端点时，21PFPF 有最小值 3；当5x，即点 P 为椭圆长轴端点时，21PFPF 有最大值 4 （2）假设存在满足条件的直线l易知点 A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为 k直线l的方程为)5( xky 由方程组2222221(54)
