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1、1因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例1 1 上海市宝山区嘉定区中考模拟第上海市宝山区嘉定区中考模拟第2424题题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2都经过点A(2, m) （1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线yx2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1 思路点拨思路点拨1直线AD/BC，与坐标轴的夹角为452求ABC的面积，一般用割补法3讨论ACE
2、与ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答满分解答（1）将点A(2, m)代入yx2，得m4所以点A的坐标为(2, 4)将点A(2, 4)代入kyx，得k8（2）将点B(n, 2)，代入8yx，得n4所以点B的坐标为(4, 2)设直线BC为yxb，代入点B(4, 2)，得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB2 2，BC4 2，ABC90 图2所以SABC1 2BA BC12 24 228 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2)
3、 、C (0,2)，得AD2 2，AC2 10由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE2所以ACE与ACD相似，分两种情况：如图3，当CEAD CAAC时，CEAD2 2此时ACDCAE，相似比为1如图4，当CEAC CAAD时，2 10 2 102 2CE解得CE10 2此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)图3 图4考点伸展考点伸展第（2）题我们在计算ABC的面积时，恰好ABC是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y轴由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得SAB
4、C8图53例例2 2 武汉市中考第武汉市中考第2424题题如图1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值； （2）如图2，连接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上图1 图2思路点拨思路点拨1BPQ与ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程 2作PDBC于D，动点P、Q的速度，暗含了BDCQ 3PQ的中点H在哪条中位线
5、上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然满分解答满分解答（1）RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 BPQ与ABC相似，存在两种情况： 如果BPBA BQBC，那么510 848t t解得t1 如果BPBC BQBA，那么58 8410t t解得32 41t 图3 图4 （2）作PDBC，垂足为D在RtBPD中，BP5t，cosB4 5，所以BDBPcosB4t，PD3t当AQCP时，ACQCDP所以ACCD QCPD，即684 43t tt解得7 8t 4图5 图6 （3）如图6，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E 由于H是PQ的中点，HF/PD，所以F是QD的中点
6、又因为BDCQ4t，所以BFCF 因此F是BC的中点，E是AB的中点所以PQ的中点H在ABC的中位线EF上考点伸展考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的H与ABC的边相切，求t的值如图7，当H与AB相切时，QPAB，就是BPBC BQBA，32 41t 如图8，当H与BC相切时，PQBC，就是BPBA BQBC，t1如图9，当H与AC相切时，直径2222(3 )(88 )PQPDQDtt，半径等于FC4所以22(3 )(88 )8tt解得128 73t ，或t0（如图10，但是与已知0t2矛盾）图7 图 8 图9 图10例例3 3 苏州市中考第苏州市中考第2929题题如图1，已知抛物线211(
7、1)444byxbx（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C （1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直5角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角 形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1思路点拨思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标
8、轴的距离相等 2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在 经过点A与x轴垂直的直线上满分解答满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, 4b)（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC 因此PDPE设点P的坐标为(x, x) 如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO115 2428bxb xbx 2b解得16 5x 所以点P的坐标为(16 16,55)图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444byxb
9、xxxb，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当BAQA QAOA，即2QABA OA时，BQAQOA所以2( )14bb解得84 3b 所以符合题意的点Q为(1,23)如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。 因此OCQQOA当BAQA QAOA时，BQAQOA此时OQB906所以C、Q、B三点共线因此BOQA COOA，即 1 4bQA b解得4QA 此时Q(1,4)图4 图5考点伸展考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余 的，那么我们自然想到三个三角形都是直角
10、三角形的情况 这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位 置 如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？ 如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾例例4 4 黄冈市中考模拟第黄冈市中考模拟第2525题题如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧 （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求BCE的面积；7（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标； （4）在第
11、四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？ 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1思路点拨思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC 再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答满分解答（1）将M(2, 2)代入1(2)()yxxmm ，得124(2)mm 解得m4（2）当m4时，2111(2)(4)2442yxxxx 所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE116 2622BC OE
12、 （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么HPEO CPCO因此2 34HP解得3 2HP 所以点H的坐标为3(1, )2（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当CEBC CBBF，即2BCCE BF时，BCEFBC设点F的坐标为1( ,(2)()xxxmm，由 FFEO BFCO，得1(2)()2 2xxmm xm 解得xm2所以F(m2, 0)由COBF CEBF，得 244mm BFm 所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF，得2 22(4)4(2)4mmmmm整理，得
13、016此方程无解8图2 图3 图4 如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以BEBC BCBF，即2BCBE BF时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得1(2)()2xxmxm解得x2m所以F(2 ,0)m所以BF2m2，2(22)BFm由2BCBE BF，得2(2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、，符合题意的m为22 2考点伸展考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长例例5 5 义乌市中考第义乌市中考第2424题题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B
14、（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；9（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线 于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运 动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时， P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使
