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1、1恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略A、两个基本思想解决、两个基本思想解决“恒成立问题恒成立问题”思路思路 1：在上恒成立；( )mf xxDmax ( )mf x思路思路 2：在上恒成立( )mf xxDmin ( )mf x如何在区间上求函数的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合D( )f x理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数的最值( )f x此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略、分
2、清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型、一次函数型若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数，若在内恒有，则等价于：( ) (0)yf xaxba( )yf x , m n( )0f x ；同理，若在内恒有，则等价于：( )0 ( )0f m f n , m n( )0f x ( )0 ( )0f m f n 例例 3对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围2a a212xaxax x解解：原不等式转化为：在时恒成立，2(1)210xaxx 2a 设，则在上恒大于 0，2( )(1)21f axaxx( )f a 2, 2
3、故有：即，解得：；( 2)0 (2)0f f 2243010xxx 3111xxxx 或或或，即(,1)(3,+)1x 3x x2、二次函数型、二次函数型例例 4若函数的定义域为，求实数的取值范围222( )(1)(1)1f xaxaxaRa解解：由题意可知，当时，恒成立，xR222(1)(1)01axaxa当且时，；此时，适合；210a 10a 1a 222(1)(1)101axaxa 2当时，有即有；210a 222102(1)4(1)01aaaa 221191090aaaa 综上所述，的定义域为时，( )f xR1, 9a例例 5已知函数，在上恒成立，求的取值范围2( )3f xxaxa
4、R( )0f x a分析分析：的函数图像都在轴及其上方，如右图所示：( )yf xx略解略解：，224 34120aaaa 62a 变式变式 1：若时，恒成立，求的取值范围2,2x ( )0f x a分析分析：要使时，恒成立，2,2x ( )0f x 只需的最小值即可( )f x( )0g a 解解：，令在上的最小值为；2 2( )()324aaf xxa( )f x2,2( )g a当，即时，；，而，不存在；22a 4a ( )( 2)730g afa7 3a4a a当，即时，；222a 44a 2 ( )( )3024aag afa 62a 又，；44a 42a 当，即时，；22a4a (
5、 )(2)70g afa7a 又，；4a 74a 综上所述，72a 变式变式 2：若时，恒成立，求的取值范围2,2x ( )2f x a法一法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把 2 移到等号的左边，则把原题转( )2f x 2,2化成左边二次函数在区间时恒大于等于 0 的问题2,2略解略解：，2( )320f xxaxa 即在上成立；2( )10f xxaxa 2,2，24 10aa ；22 222 2a 223；24(1)0(2)0( 2)02222aaffaa 或52 22a 3、变量分离型、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容
6、易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个x数都有：恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有：( )( )f xg amin( )( )g af xx恒成立，则( )( )f xg amax( )( )g af x例例 6已知三个不等式：，要使同时2430xx2680xx2290xxm满足的所有的值满足，求的取值范围xm略解略解：由得，要使同时满足的所有的值满足，23xx即不等式在上恒成立，2290xxm(2, 3)x即在上恒成立，又在上大于 9；229mxx (2,3)x2
7、29xx(2,3)x所以：9m 例例 7函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对所( )f x 1, 1( 1)1f 2( )21f xtat有的都成立，求 的取值范围 1, 1a t解：解：据奇函数关于原点对称，；(1)1f又因为在是单调递增，所以；( )f x 1, 1max( )(1)1f xf对所有的都成立；2( )21f xtat 1,1a 因此，只需大于或等于在上的最大值 1，221tat( )f x 1, 1；又对所有的都成立，2221 120tattat 1, 1a 即关于的一次函数在上大于或等于 0 恒成立，a 1, 1即：222020220ttttttt 或或(, 202,)
8、t 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质、根据函数的奇偶性、周期性等性质4若函数是奇（偶）函数，则对一切定义域中的：（）( )f xx()( )fxf x ()( )fxf x恒成立；若函数的周期为，则对一切定义域中的：恒成立( )f xTx( )()f xf xT5、直接根据图像判断、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷例例 8对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围x|1|2|xxaa分析：分析：转化为求函数
9、的最小值，画出此函数的图像即可求得的取值范围|1|2|yxxa解解：令；3, 1 1221, 12 3, 2x yxxxx x 在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，x|1|2|xxa只需；故实数的取值范围是3a a3 或或或本题中若将“”改为“” ；同样由图象可|1|2|xxa|1|2|xxa得3a 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归
10、类，熟练基本方法（一）换元引参，显露问题实质（一）换元引参，显露问题实质例例 9对于所有实数，不等式：恒成立，x2 2 22224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa求的取值范围a解：解：因为的值随着参数的变化而变化，若设，22log1a a a22log1ata则上述问题实质是“当 t 为何值时，不等式恒成立” ；2(3)220t xtxt这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：求解关于 的不等式组：；t230(2 )8 (3)0tttt 5yy2y10 4 x解得，即有，易得0t 22log01a a01a（二）分离参数，化归值域问题（二）分离参数，化归值域问题例例
11、 10若对于任意角总有成立，求的范围2sin2cos410mm m解：解：此式是可分离变量型，由原不等式得，2(2cos4)cosm又，则原不等式等价变形为恒成立cos202cos2cos2m 故必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值2m2cos( )cos2f2cos cos2 由；2cos( )cos2f2(cos2)4(cos2)4 cos2 4cos24cos2440即时，有最小值为 0，故cos00m （三）变更主元，简化解题过程（三）变更主元，简化解题过程例例 11若对于，方程都有实根，求实根的范围01m2210xmxm 解解：此题一般思路是先求出方程含参数的根，再由的范围
12、来确定根的范围，但这样会遇mmx到很多麻烦，若以为主元，则，m2(2)(1)m xx由原方程知，得；2x 21 2xmx又，即；解之得或01m21012x x11312x 11312x （四）图象解题，用好数形结合（四）图象解题，用好数形结合例例 12设，若不等式恒成立，求的取值范围(0 4x或(4)xxaxa解：解：若设，则表示为上半圆1(4)yxx22 11(2)4 (0)xyy设，为过原点，为斜率的直线2yaxa在同一坐标系内 作出函数图像；依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，0a 即的取值范围为a0a 例例 13当时，不等式恒成立，求的取值范围(1, 2)x2(1)logaxxa解
13、解：设，则的图像为右图是抛物线；2 1(1)yx2logayx1y要使对一切，恒成立，显然，(1, 2)x12yy1a 并且必须也只需当时，的函数值大于等于的函数值；故，2x 2y1ylog 21a612a（五）合理联想，运用平几性质（五）合理联想，运用平几性质例例 14不论为何实数，直线与曲线恒有交点，k1ykx2222240xyaxaa求的范围a解解：，C（a，0） ，22()42xaya当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点 A（0，1）必在圆上或圆内，2a 即点 A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有，得2124(2)aaa 13a 评析评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点 A（0，1） ，曲线为圆（六）分类讨论，避免重复遗漏（六）分类讨论，避免重复遗漏例例 15当时，不等式恒成立，求的范围| 2m 221(1)xm x x解解：使用的条件，必须将分离出来，此时应对进行讨论| 2m m21x 当时，要使不等式恒成立，只要，解得；210x 221 1xmx22121x x1312x当时，要使不等式恒成立，只要，解得；210x 221 1xmx22121x x 1712x 当时，要使恒成立，只有；210x
