《人教版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式(学生版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式(学生版)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1两角和与差的正余弦、正切公式_一、 两角和的余弦公式： 的推导：sinsincoscos)cos(复习：两点间的距离公式：复习：两点间的距离公式：设设， ),(111yxP),(222yxP22 122121()()PPxxyy推导过程：推导过程：由三角函数定义知：由三角函数定义知：， , ， (1,0)A(cos,sin)B(cos(),sin()C，(cos(),sin()D由已知：由已知：; AOCBOD AADABABCDBAC设角设角、角角为任意角为任意角如左图在平面直角坐标系如左图在平面直角坐标系中中xoy作作,AOBBOC则则AOC作单位圆，作单位圆，设角设角、角角的终边分别与
2、单位圆交于点的终边分别与单位圆交于点 B B，点，点 C C再作再作DOABOC 22222coscos()sinsin()cos() 1sin ()2222coscos()sinsin()cos() 1sin ()展开并整理得展开并整理得: : 22(coscossinsin)22cos()sinsincoscos)cos(上述公式称为两角和的余弦公式上述公式称为两角和的余弦公式记为记为 ():Csinsincoscos)cos(二、两角和与差的正弦公式：二、两角和与差的正弦公式：sin(+)=cos-(+)=_2sin(-)=sin+(-)=_ 3、两角和两角和与差与差的正切公式：的正切公
3、式： 当 cos(+)0 时，tan(+)=_ 如果 coscos0,即 cos0 且 cos0 时,分子、分母同除以 coscos 得tan(+)=，据角 、 的任意性，在上面的式子中， 用- 代之，则有)tan(tan1tantan tan(-)=.tantan1tantan )tan(tan1)tan(tan cos(+)=coscos-sinsinsin(+)=sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin.3tan(+)=,tantan1tantan tan(-)= .tantan1tantan 4、公式汇编：公式汇编： 1两角和与差的三角函数；sincosc
4、ossin)sin(；sinsincoscos)cos(。tantantan()1tantan2二倍角公式；cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos。22tantan21tan 3三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；三角公式的逆用；切割化弦，异名化同名， 异角化同角等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽 量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式； ； 。2sin21cossin22cos1sin222cos1cos2（2）辅助角公式，22sincossinaxbxabx=公式
5、的推导： 2222sincosbaabab 其中，cos 22aab222222sincossincosabaxbxabxx abab令，则，于是有： 22cosaab 22sinbab 22222222sincossincossin coscos sinabaxbxabxxabxx abab22sinabx4其中由，和共同确定 22cosaab 22sinbab tanb a类型一：类型一：正用公式正用公式例例1 1.已知:41cos,32sin，求cos()的值.举一反三：举一反三：【变式 1】已知(,0)2x ，4cos5x ，则tan2x .【变式 2】已知tan()24x，则tan
6、tan2x x .【变式 3】已知tan和tan是方程2260xx的两个根，求tan()的值.【高清课堂：高清课堂：三角恒等变换 397881 例 1】【变式 4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)22sin 13cos 17sin13 cos17(2)22sin 15cos 15sin15 cos15(3)22sin 18cos 12sin18 cos12(4)22sin ( 18 )cos 48sin( 18 )cos48 (5)22sin ( 25 )cos 55sin( 25 )cos55 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果
7、,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.例例 2 2已知3 24，12cos()13,3sin()5 ，求sin2的值.举一反三：举一反三：【变式 1】已知3sin5，是第二象限角，且tan()1，求tan2的值.【变式 2】函数2 3sin(70)2cos(10)yxx的最大值为（ ）A2 3 B4 C 2 D 22 3【变式 3】已知4cos()cos2.125212 且且且且且且且且且5【变式 4】已知 43 4，40，53)4cos(，135)43sin(，求sin()的值。类型二：类型二：逆用公式逆用公式 例例 3.3.求值： （1）sin43 cos13cos43 sin1
8、3；（2）2cos6sinxx；（3）1tan15 1tan15 ； （4）44(sin23 cos8sin67 cos98 )(sin 7 30cos 7 30 ).举一反三：举一反三：【变式 1】化简sin163 sin223sin253 sin313.【变式 2】已知3sin()coscos()sin5，那么cos2的值为（ ）A7 25B18 25C 7 25 D 18 25例例 4.4. 求值：（1）cos36 cos72；（2） 73cos72cos7cos举一反三：举一反三：【变式】求值：（1）cos20 cos40 cos80；（2）sin10 sin30 sin50 sin7
9、0.类型三：类型三：变用公式变用公式 例例 5 5求值：（1）0000tan20tan403tan20 tan40；（2）（2）0000(1tan1 )(1tan2 )(1tan43 )(1tan44 )举一反三：举一反三：【变式 1】求值：tan22tan23tan22tan23= 【变式 2】在ABC中，tantan3tantan3BCBC,3tan3tan1tantanABAB ，试判断ABC的形状. 类型四：三角函数式的化简与求值类型四：三角函数式的化简与求值例例 6.6. 化简：（1）sin50 (13tan10 )；(2）222cos12tan()sin ()44 【点评】 三角变
10、换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数 与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。6三角变换中一般采用“降次” 、 “化弦” 、 “通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：21 cos2cos2，21 cos2sin2.举一反三：举一反三：【变式 1】化简：（1）tan15cot15；（2）13 sin10sin80； （3）0 01tan10cos50【变式 2】若3cos5，且(0,)2，则tan2_.【答案】由3cos5，(0,)2，得24sin1 cos5，231sin2sin1 cos1522tan42
11、sin2cos2sincos2225 .例例 7 7已知1tan()2，1tan7 ，且,(0, ) ，求2的值.举一反三：举一反三：【变式 1】已知11tan,tan73，, 为锐角，则2的值是（ ）A. 4B. 5 4C. 4或5 4D. 【变式 2】已知32)sin(，51)sin(，求tan tan 。一、选择题1cos75cos15sin435sin15的值是( )A0B12CD32122在ABC 中，若 sinAsinBcosAcosB，则ABC 一定为( )A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形3化简 sin(xy)sin(xy)cos(xy)cos(xy)的结果是(
12、)Asin2xBcos2yCcos2xDcos2y4sin15cos75cos15sin105等于( )7A0B12CD1325sincos的值是( )12312A0B2CD226ABC 中，cosA ，且 cosB，则 cosC 等于( )35513AB33653365CD63656365二、填空题7若 cos ，(0， )，则 cos( )_.15238已知 cosxcosy ，sinxsiny ，则 cos(xy)_.1413三、解答题9已知 sinsinsin，coscoscos.求证：cos() .12_基础巩固基础巩固 1若sin xcos x4m，则实数 m 的取值范围是( )3A2m6 B.6m6C2m6 D.2m42.的值是(
