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1、,探索直角三角形全等的条件,大冶三中柯咏平216.9.23,回 顾 与 思 考,1、判定两个三角形全等方法: ， ， ， 。,SSS,ASA,AAS,SAS,3、如图，AB BE于B，DE BE于E，,2、如图，Rt ABC中，直角边 、 ，斜边 。,BC,AC,AB,（1）若 A= D，AB=DE， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”） 根据 （用简写法）,全等,ASA,（2）若 A= D，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,AAS,全等,（3）若AB=DE，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写
2、法）,全等,SAS,（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,全等,SSS,情境问题1:,舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。,你能帮工作人员想个办法吗？,情境问题2:,工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？,工作人员是这样做的，他分别测量了没有被遮住的直角边和斜边，发现它们对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？,情境问题2:,对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全
3、等吗？,动动手 做一做,用三角板和圆规，画一个RtABC,使得C=90,一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.,动动手 做一做,Step1:画MCN=90;,动动手 做一做,Step1:画MCN=90;,Step2:在射线CM上截取CA=4cm;,A,Step1:画MCN=90;,Step2:在射线CM上截取CA=4cm;,动动手 做一做,Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;,C,N,M,A,B,Step1:画MCN=90;,C,N,M,Step2:在射线CM上截取CA=4cm;,B,动动手 做一做,Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;,A,Ste
4、p4:连结AB;,ABC即为所要画的三角形,做一做,已知线段a、c(ac)和一个直角，利用尺规作一个RtABC,使C= ，CB=a，AB=c.,想一想，怎样画呢？,按照下面的步骤做一做：, 作MCN=90;, 在射线CM上截取线段CB=a;, 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;, 连接AB., ABC就是所求作的三角形吗？, 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？,学习目标： 1、理解直角三角形全等的判定方法斜边直角边； 2、熟练运用“HL”定理证明直角三角形全等； 3、熟练运用“HL”定理解决有关问题.,斜边、直角边公理,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角
5、三角形全等.,简写成“斜边、直角边”,或“HL”,前提,条件1,条件2,斜边、直角边公理 (HL),在RtABC和Rt 中,AB=,BC=,RtABC,C=C=90,探索发现的规律是：,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写为“斜边、直角边”或“HL”。,几何语言：,在RtABC和RtABC中,（HL）,BC=BC,Rt,Rt,Rt,Rt,判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.,全等,(AAS),2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.,全等,判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,
6、( ASA),3.两直角边对应相等的两个直角三角形.,全等,判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,( SAS),4.有两边对应相等的两个直角三角形.,全等,判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,情况1：全等,情况2：全等,(SAS),( HL),例1,已知：如图， ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;BAD=CAD,A,B,C,D,等腰三角形三线合一,例2,已知：如图,在ABC和ABD中，ACBC, ADBD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： ABCBAD.,A,B,D,C,证明： ACBC, ADBDC=D=90在RtABC和RtBAD中,
7、RtABCRtBAD (HL),A,例3,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,BAC=EDF, AB=DE,B=E,分析： ABCDEF,RtABPRtDEQ,AB=DE,AP=DQ,证明：AP、DQ是ABC和DEF的高APB=DQE=90在RtABP和RtDEQ中,AB=DE,AP=DQ,RtABPRtDEQ (HL) B=E 在ABC和DEF中,BAC=EDFAB=DE B=E,ABCDEF (ASA),思维拓展,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB
8、=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF ，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,小结,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF ，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,变式2：若把BACEDF,改为AC=DF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,思维拓展,小结,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求
9、证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF ，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,变式2：若把BACEDF,改为AC=DF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,变式3：请你把例题中的BACEDF改为另一个适当条件，使ABC与DEF仍能全等。试证明。,思维拓展,小结,小结,“SAS”,“ ASA ”,“ AAS ”,“ SSS ”,“ SAS ”,“ ASA ”,“ AAS ”,“ HL ”,灵活运用各种方法证明直角三角形全等,应用,“ SSS ”,练习1：如图，AB=CD，AE BC，DF BC，CE=BF.,=F = 即=。,求证AE=DF.,课
10、本14页练习2题,练习2 如图，AB=CD，AE BC，DF BC，CE=BF. 求证：AE=DF.,证明： AEBC，DFBC和都是直角三角形。,又=F,=即=。,在和中,（）,练习3：如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DAAB，EBAB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？,CD 与CE 相等吗？,课本14页练习2题,（1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）,练一练,AD=BC, DAB= CBA,BD=AC, DBA= CAB,HL,HL,AAS,AAS,已知ACB =ADB=90，要证明ABC BA
11、D，还需一个什么条件？写出这些条件，并写出判定全等的理由。,练一练,4、如图，AC=AD，C，D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？,5. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。,解：BD=CD因为ADB=ADC=90AB=ACAD=AD,所以RtABDRtACD(HL) 所以BD=CD,议一议,思考:如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系？,ABC+DFE=90.,1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF. 求证: ABC是等腰三角形.,学以致用,1.如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF 求证：BF=DE,巩固练习,2.如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF 求证：BD平分EF,G,变式训练1,3.如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF 想想：BD平分EF吗?,C,变式训练2,判断两个直角三角形全等的方法有：,(1)： ；,(2)： ；,(3)： ；,(4)： ；,SSS,SAS,ASA,AAS,(5)： ；,HL,小结,
