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1、1,第三章 机理建模举例,例一 、电加热炉 例二 、机械振动条理 例三 、电路系统(一) 例四 、电路系统(二) 例五 、化工中过程控制 例六、直流电动机 例七 、人口问题 例八、过热器受热管段的理论建模,2,前面我们已了解到了建立系统数学模型有两种方法：,机理建模法（又称理论建模法） 测试法 （又称为辩识）,这章我们通过简单的例子了解一下机理建模的思路，下一章我们再探讨测试法。,3,开始我们设简单一点，只有一个电阻丝进行加热。,例一、电加热炉,4,如果炉堂较小，但有电扇随时将温度吹匀，则可认为此对象为单变量系统。环境温度T。认为不变，热电偶特性为直线。因此，又可把这个系统看成为线性系统。这样
2、就可以按热平衡关系列出微分方程。,分析：,输入的功率P与热流Q成比例,即： P Q,1. 这个系统一边加热，另一边温度上升,2. 这个系统可以看成积分系统,3. 是否为纯积分系统？, 还应考虑散出的热量,5,若定义,或,单位时间热量 = 升温1度所需热量 + 损失1度所丢失的热量,为微分方程形式的数学模型,根据热平衡方程：,输出 y= T,6,若用传递函数来描述，即需进行拉式变换：,则有：,由微分方程：,经拉式变换有：,为传递函数形式的数学模型,7,若要获得冲击响应模型，即需对H(s)求拉氏反变换：,即：,所获上升曲线（即冲击响应曲线）为：,8,若用阶跃响应模型描述，则有：,9,1.为什么温度
3、不能线性直接上升？,问题：,从物理角度上看，如果热阻R，热损耗就可看成为，则温度会为线性直线上升的。但是，当 R ，随室内外温差变化，热损耗会增加。当温度达到稳态值时，此时功率与散热达到了平衡.,t,t,R,R,10,传递函数的时间常数为0，体现为温度一变，热电偶能马上反映出来。而实际上热电偶有保护层，因而产生了时延和误差，故热电偶可看成是阶跃环节，且带时延。,2. 系统为何有延时？,11,对于时延，还有电炉内热对流过程不够快引起的，但这个延时不是稳定的，温度低时对流慢，温度高时对流快，不同温度对流速度不同，延时就不同。,若是进一步考虑传函器的动态，则 ：,再有炉壁过厚，内壁开始温度上升，并不
4、反映出去。而且热阻R也是变的，当壁厚较薄时，热阻R可看成常数，也就是可以看成一下子热阻R就稳定了。,热电偶时间常数,泰勒级数展开后获得,12,尽管炉子很简单，但影响因素还是很多的，时延加上后，两条响应曲线为：,13,上面讨论的是连续时间模型，下面 看一下离散时间模型（离散化时都是从传递函数变过来）,由传函：,经Z变换：,14,由阶跃响应：,得：,15,脉冲响应序列:,设:,16,脉冲传递函数:,17,差分方程：,为延迟一步,又,设,18,19,（完）,各种模型形式总结：,差分方程：,脉冲传递函数：,脉冲响应:,冲击响应:,阶跃响应：,传递函数：,微分方程:,20,例二、 机械振动系统：,21,
5、根据力平衡关系，可建立如下方程：,经过拉氏变化可获得传递函数：,微分方程可为：,22,问题：,即求：,若考虑冲激响应 ，即给一个外力后马上消失所产生的振动,其中：,其中：,若加一个固定的外力，则平衡点在哪儿？,上式中我们令S=0，则有：,即：刚度越大，位移越小,23,24,其响应曲线为：,25,若考虑单位阶跃响应方程：,26,其中：,其单位阶跃响应波形可以为右图所示。,（完）,27,若其中:,设有一电路为:,根据电压平衡关系： 总电压 = 各部分电压总和,故有:,又可写为：,例三、 电路系统（一）,28,若设c上的电压为输出，即：,29,再一例，设有电子控制器电路：,等效电路：,例四、 电路系
6、统（二）,30,根据等效电路可由平衡方程关系：,根据等效原理可得出R1上电流为：,有：,31,当K很大很大，且E0一定，说明：,（完）,32,我们将水槽高度H1、H2作为控制量，将流量Q作为输入量 ，求H与Q之间的关系？,例五、 化工中过程控制串联液位系统,33,分析：,设系统已稳定于平衡点（Q 、H1、H2），然后水流量Q做适当的小变化，引起一个过度过程，则输入为：,这是一个非线性系统。而对非线性系统在平衡处可看成线性的，当两个水槽高度稳定不变时，也就是系统已经达到平衡了。即入的流量与出的流量相等。,高度也会产生增量：,各槽流量也会产生增量：,34,下面我们列出,之间的动态关系。,在这里，先
7、假设各管路无泄露（当然反过来建模也可以做故障诊断）。,则流量平衡关系：,35,R1：（用管道中的欧姆定律可得到平衡关系）：,V1： （流量平衡式）：,V2： （流量平衡式）：,R2：（用管道中的欧姆定律可得到平衡关系）：,36,就这样我们把这个系统拆成4个小系统，建立了上面4个方程。（机理建模法可以将大系统拆成多个小系统考虑）。,求拉氏变换可得：,由（2）式：,由（4）式：,由（3）式：,由（1）式：,37,38,39,40,（完）,41,求：角度 与输入电压(t)之间的关系,例六、 直流电动机模型,42,解：,在这里要用到电压、电磁、机械平衡关系,用电压平衡关系：,用电磁感应关系：,用机械力
8、矩平衡关系：,用电磁力矩平衡关系：,43,让我们先做拉氏变换,由（）式得：,由（）式得：,由（）式得：,由（）式得：,44,（完）,45,某国1990年有5000万人，其中首都有600万人口。设每年从首都迁出的人口占其上年人口的2%，而每年从其他城市地址迁入首都的人口占这些地区上年人口的1.5%，该国人口自然增长率为1%。,求：首都每年增长的模型,解：,取1990年为起始年，即：,第年首都人口为 X1(k)，外地人口为 2(k),则有：,例七、人口问题建模,46,如果 % 率为控制量，系统就不是线性系统,由于无控制量，故该系统不是控制系统。,经递归可获得：,47,0.965k0,即：3/7人在
9、首都，有4/7人在外地。,（完）,48,例八、过热器受热管段的理论建模,过热器受热管段示意图：,49,分别为蒸汽和金属的比热；,分别为蒸汽和金属的密度；,是管子内圆周与总长；,是蒸汽与管壁之间的流传热系数；,是蒸汽的平均流速；,为加热量。,图(b)满足：,设：,分别为蒸汽和金属的断面积；,50,设蒸汽和金属(管壁)温度分别为：,则根据传热原理，蒸汽蓄热方程为：,金属蓄热方程为：,51,其中， 为蒸汽与管壁之间的平均温度； 为平均加热量；且有：,经计算，图（c）中的三个传递函数分别为：,（完）,52,从上面例子中可以看出机理建模法只能用于简单过程的建模。对于比较复杂的实际系统，这种建模方法有很大
10、局限性。这是因为：,在建模时为简化问题，需进行某些假定，而假定往往不一定能符合实际情况。,2. 对实际系统的机理不是完全知道。,3. 系统中含有某些因素或是有可能不能掌握，或是有可能不断变化。,因此，机理建模法(或称理论建模法)需要和测试法(或称辨识法)结合起来使用。,53,作业：,热电偶的输出电势 E 可用下列模型描述：,其中：t 为热电偶冷热端之间的温差；,试将热电偶输出电势模型化成各种模型格式，也包括最小二乘格式。,54,例一 、电加热炉 例二 、机械振动条理 例三 、电路系统(一) 例四 、电路系统(二) 例五 、化工中过程控制 例六、直流电动机 例七 、人口问题 例八、过热器受热管段的理论建模,第三章 机理建模举例,
