2.2 常见函数(附思维导图)

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1、12.2常见函数一、一次函数和常函数：思维导图：2（一） 、一次函数 （二）、常函数定义域：（- ，+ ） 定义域: （- ，+ ）值 域：（- ，+ ） 正 k=0 反 值 域： b 解析式：y = kx + b( k 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)图 像：一条与 x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与 x 轴平行或重合的直线y b0 b=0 b0o x 0 x o x b=0b0 b 0 k 0 ,在（- ，+ ） 单调性：在（- ，+ ）上不单调k 0 k 0,（- ，0）,（0，+ ） 单调性:在和上),(ab),(abk 0 、) 1, 0(1log,01logaaa

2、aa对任意 a0 且 a1， 都有 a01 log a 10同样易知： log a a1、对数恒等式：奎屯王新敞新疆) 1, 0(logaaNaNa如果把 abN 中的 b 写成 log a N, 则有 aNNalog、指数恒等式：) 1, 0(logaababa13、常用对数我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数NNlg,log10简记为例如：log 105 简记作 lg 5 log103.5 简记作 lg3.5.、自然对数在科学技术中常常使用以无理数e2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数。NNeln,log简记为例如：log

3、e3 简记作 ln3 loge10 简记作 ln10（4）.运算性质：若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;NMNMaaalogloglog(2) ;NMNMaaalogloglog(3) )(loglogRnMnMan a【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数 的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】.证明：(1)设 logaMp，logaNq由对数的定义得：Map，Naq MNapaqap+q再由对数定义得 logaMNpq，即证得 logaMNlogaMlogaN(2)设 logaMp，logaNq 由对数的定义可以得Map，N

4、aq， apq，MNapaq再由对数的定义得 logapqMN即证得 logalogaMlogaNMN(3)设 logaMp 由对数定义得 Map14Mn（ap）nanp 再由对数定义得logaMnnp 即证得 logaMnnlogaM例：计算：（1）lg142lg lg7lg18 （2） （3） 73lg243lg9【解析】(1)、解法一：lg142lg lg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)73lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20解法二：lg142lg lg7lg18lg14lg（ ）2lg7lg187373lglg10（2）lg243lg9lg35

5、lg325lg32lg35 2（3）32（5）.对数换底公式：)0, 10, 10(logloglogNmmaaaNNmm a且且证明：设 log a Nx , 则 axN两边取以 m 为底的对数：log m axlog m Nx log m alog m N从而得：x log a Nlog m N log m alog m N log m a两个常用的推论: 1loglogabba ）且均不为、10(loglogbabmnban am证：log a blog b a1lg blg alg a lg blogbn log a b malg bn lg amnlg b mlg an m例：设 x

6、、y、z（0，）且 3x4y6z 1 求证 ； 2 比较 3x，4y，6z的大小1 x1 2y1 z证明 1：设 3x4y6zk x、y、z（0，） k115取对数得：x， y， zlg k lg 3lg k lg4lg k lg 6 1 x1 2ylg 3 lg klg 4 2lg k2lg 3lg4 2lg k2lg 32lg2 2lg klg 6 lg k1 z2 3x4y（）lgklgk03 lg 34 lg 4lg64lg81 lg 3lg43x4y 又 4y6z（）lgklgk04 lg 46 lg 6lg36lg64 lg 2lg64y6z 3x4y6z （二）、指数函数、对数函

7、数和幂函数已知，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：Nab关系一：N 如何随着 b 的变化而变化以指数为自变量、以幂为因变量的函数指数函数；关系二：N 如何随着 a 的变化而变化以底数为自变量、以幂为因变量的函数幂函数；关系三：a 如何随着 b 的变化而变化(指数为自变量、幂为因变量) bbNNa1 指数函数；+ 关系四：b 如何随着 N 的变化而变化（以真数为自变量、以对数为因变量）Nbalog对数函数；关系五：a 如何随着 N 的变化而变化（以底数为自变量、幂为因变量）bbNNa1 指数函数关系六：b 如何随着 a 的变化而变化； Nbalog定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量。

8、) 1, 0(aaayx函数叫做对数函数。) 1, 0(logaaxya函数叫做幂函数，其中 x 是自变量。为常数）(xy 161、指数函数 2、对数函数定义域：（- ，+ ） 定义域:（0，+ ）值 域：（0，+ ） 值 域：（- ，+ ）解析式： 解析式：) 10()(aaaxfx且) 10(log)(aaxxfa且17图 像：位于 x 轴上方，向 x 轴无限接近 图 像：位于 y 轴右侧，向y 轴无限接近y y y y1 10 x 0 x 0 1 x 0 1 x1a10 a1a10 a 【特殊点】恒过（0，1），（1，a) 【特殊点】恒过（1，0)，（a，1）【y = 1】 【x = 1

9、】或 或 1xay01 xa 010 xa0log xya11 xa 1010 xa或 或 1xay01 xa 010 xa0log xya101 xa 110 xa【底数的大小】 y 【底数的大小】 y xcy xdy xay xby xyalogxyblogx0 x 0 xyclogabcd10abcd10单调性： 单调性：），在（, 1a），在（0, 1a），在（, 10a），在（0, 10a奇偶性：无 奇偶性：无 周期性：无 周期性：无反函数： 反函数： ) 1, 0(logaaxya) 1, 0(aaayx3、幂函数为常数）(xy 问题问题 1 1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互

10、转化把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？（1）y；（2）y；（3）y；（4）y21 x31 x32 x34 xxydlog18思路：思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断（1）定义域为0，），（2）（3）（4）定义域都是 R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增问题问题 2 2：仿照问题 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1

11、）yx1；（2）yx2；（3）y；（4）y21x31x思路：思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是x|x0，（3）的定义域是（0，）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定

12、义进行判断问题 1 和问题 2 中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比【五个重要的幂函数】：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） xy 21 xy 2xy 1 xy3xy xy 2xy 3xy 21 xy 1 xy定义域 值域 奇偶性19【幂函数性质】 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，0), 0 当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；110（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右0), 0( x边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上yyxx 方无限地逼近轴正半轴x例 1讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图52 x思路：思路：函数y是幂函数52 x（1）要使y有意义，x可以取任意实