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1、7-1-2.加法原理之分类枚举（二）.题库 教师版 page 1 of 97-1-2.7-1-2.加法原理之分类枚举（二）加法原理之分类枚举（二）教学目标教学目标1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯， 锻炼思维的周全细致知识要点知识要点一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决
2、例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数 二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有 k 类
3、方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，1m2m，第 k 类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加法原km12kNmmm理加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确运用加法原理解题时，关键是确定分类的标
4、准，然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“整体等于局部之和”7-1-2.加法原理之分类枚举（二）.题库 教师版 page 2 of 9三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分 N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事） ；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏例题精讲例题精讲分类枚举找规律【例例 1】 有一个电子表的表面用有一个电子表的表面用 2 个数码显示个数码显示“小时小时”，另用，另用 2 个数码显示个数码显示“分分”
5、。例如。例如“21：32”表示表示 21 时时 32 分，那么这个手表从分，那么这个手表从“10：00”至至“11：30”之间共有之间共有分钟表面上显示有数码分钟表面上显示有数码“2”. 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 9 题【解析】显示小时的数码不会出现 2，只有分钟会出现。10 点到 11 点分别有2，12，20，21，22，29，32，42，52，共 15 次，11 点到 11 点半有2，12，20，21，22，29 共 12 次，所以有 27 分钟。【答案】分钟27【例例 2】 袋中有袋中有 3 个红球，个红球，4 个黄
6、球和个黄球和 5 个白球，小明从中任意拿出个白球，小明从中任意拿出 6 个球，他拿出球的情况共有个球，他拿出球的情况共有_ 种可能种可能 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想，迎春杯，四年级，初赛，6 题【解析解析解析】如果没拿红球，那么拿（黄、白）球的可能有（1、5） 、 （2、4） 、 （3、3） 、 （4、2）4 种.如果拿 1 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、5） （1、4） 、 （2、3） 、 （3、2） 、 （4、1）5 种.如果拿 2 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、4） 、 （1、3） 、 （2、2） （3、1） 、
7、（4、0）5 种如果拿 3 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、3） 、 （1、2） 、 （2、1） 、 （3、0）4 种.可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18（种） 有 18 种.【答案】种18【例例 3】 1、2、3、4 四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号最少插一个乘号)，可，可 以得到多少个不同的乘积以得到多少个不同的乘积? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想【解析】方法一：按插入乘号的个数进行分类：若插入一个乘号，4 个数字之间有 3
8、个空当，选 3 个空当中的任一空当放乘号，所以有 3 种不同的插法，可以得到 3 个不同的乘积，枚举如下：，1 2 3 41 23 41 2 34若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从 3 个空档中选 2 个空当插入乘号有 3 种不7-1-2.加法原理之分类枚举（二）.题库 教师版 page 3 of 9同的插法，可以得到 3 个不同的乘积，枚举如下：，1 23 4 1 2 341 234 若插入三个乘号，则只有 1 个插法，可以得到 l 个不同的乘积，枚举如下： 1 234 所以，根据加法原理共有种不同的乘积3317 方法二：每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，在 1、
9、2、3、4 这四个数中共有 3 个空所以共有：去掉都不放的一种情况，所以共有：（种）选择222=8 81=7【答案】7【例例 4】 1995 的数字和是的数字和是 1995=24，问：小于，问：小于 2000 的四位数中数字和等于的四位数中数字和等于 26 的数共有多少个的数共有多少个? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想【解析】小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和为 26，只需其余三位数字和是 25因为十位、个位数字和最多为 99=18，因此，百位数字至少是 7于是百位为 7 时，只有 1799，一个；百位为 8 时，只有 1889
10、，1898，二个；百位为 9 时，只有 1979，1997，1988，三个；总计共 123=6 个【答案】6【巩固】 1995 的数字和是的数字和是 1995=24，问：小于，问：小于 2000 的四位数中数字和等于的四位数中数字和等于 24 的数共有多少个的数共有多少个? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想【解析】小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和为 24，只需其余三位数字和是 23因为十位、个位数字和最多为，因此，百位数字至少是 5于是9918百位为 5 时，只有 1599 一个；百位为 6 时，只有 1689，1698 两个；
11、百位为 7 时，只有 1779，1788，1797 三个；百位为 8 时，只有 1869，1878，1887，1896 四个；百位为 9 时，只有 1959，1968，1977，1986，1995 五个；根据加法原理，总计共个1234515【答案】15【巩固】 2007 的数字和是的数字和是 2+0+0+7=9，问：大于，问：大于 2000 小于小于 3000 的四位数中数字和等于的四位数中数字和等于 9 的数共有多少个的数共有多少个? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想【解析】大于 2000 小于 3000 的四位数千位数字是 2，要它数字和为
12、9，只需其余三位数字和是 7因此，百位数字至多是 7于是根据百位数进行分类：第一类，百位为 7 时，只有 2700 一个；第二类，百位为 6 时，只有 2610，2601 两个；第三类，百位为 5 时，只有 2520，2511，2502 三个；第四类，百位为 4 时，只有 2430，2421，2412，2403 四个；7-1-2.加法原理之分类枚举（二）.题库 教师版 page 4 of 9第五类，百位为 3 时，只有 2340，2331，2322，2313，2304 五个；第六类，百位为 2 时，只有 2250，2241，2232，2223，2214、2205 六个；第七类，百位为 1 时，
13、只有 2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106 七个；第八类，百位为 0 时，只有 2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007 八个；根据加法原理，总计共个1234567836【答案】36【例例 5】 从从 101 到到 900 这这 800 个自然数中，数字和被个自然数中，数字和被 8 整除的数共有整除的数共有_个。个。 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 13 题【解析】数字和被 8 整除，则数字和可能为 8、16、24数字和 8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+
14、3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2这样的数共有个132223 32636 数字和 16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4=这样的数共有 58 个数字和=24=9+9+6=9+8+7=8+8+8这样的数共有 6 个所以满足题意的数字共有 100 个【答案】个100【巩固】 在四位数中，各位数字之和是在四位数中，各位数字之和是 4 的四位数有多少？的四位数有多少？ 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想【解析】以个位数的值为分类标准，可以分成以下几类情况来考虑：第 1 类个位数字是 0，满足条件的数共有 10 个其中：十位数字为 0，有 4000、3100、2200、1300，共 4 个；十位数字为 1，有 3010、2110、1210，共 3 个；十位数字为 2，有 2020、1120，共 2 个；十位数字为 3，有 1030，共 1 个第 2 类个位数字是 1，满足条件的数共有 6 个其中：十位数字为 0，有 3001、2101、1201，共 3 个；十位数字为 1，有 2011、1111，共 2 个；十位数字为 2，有 1021，满足条件的数共有 1 个第 3 类个位数字是 2，满足条件的数共有 3 个其中：十位数字为
