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1、1例 5、 （衢州市）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线2yax上(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2) 平移抛物线2yax，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物 线的函数解析式；若不存在，请说明理由14 年 1 月石景山期末6. 已知点和点在抛物线上. )2, 2( A), 4(n
2、B )0(2aaxy（1）求的值及点的坐标；aB（2）点在轴上，且满足是以为直角边的直角三角形，求点的坐标;PyABPABP（3）平移抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为. 点M（2,0）在x)0(2aaxy AB轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式.MBMA练习 1、 （达州）15、如图 6，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点， 点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为_（结果不取近似值）.2如图所示，正方形的面积为 12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上ABCDABEEABCDAC
3、有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 PPDPE2 32 64x22A8-2O -2-4y6B CD-442D63、 滨州市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过A(2, 4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点 （1）求抛物线yax2bxc的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AMOM的最小值4 、山西省中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛 物线的顶点 （1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标； （2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l/AC交
4、抛物线于点Q试探究：随着点P的运动，在抛物线 上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标图 1 满分解答5. （年山东聊城）已知ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20 （1）写出ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； （2）当 BC 多长时，ABC 的面积最大？最大面积是多少？ （3）当ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如
5、果不 存在，请给予说明6. （江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3，） ，点 C 的坐 标为（，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PAPC 的最小值为【 】31 2A B C D213 231 2319 277. （已知点 D 与点 A（8，0） ，B（0，6） ，C（a，a）是一平行四 边形的四个顶点，则 CD 长的最小值为 .38. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是 9.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象
6、过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式； （3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO； （4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中， PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由一、一、费马点、利用旋转变换求线段和最值费马点、利用旋转变换求线段和最值 费马点费马点编编辑辑本本段段费费马马点点定定义义在一个多边形中，到每个顶
7、点距离之和最小的点叫做这个多边 形的费费马马点点。在平面三角形中 :(1).三三内内角角皆皆小小于于 120的的三三角角形形，分分别别以以 AB,BC,CA，为为边边， 向向三三角角形形外外侧侧做做正正三三角角形形 ABC1,ACB1,BCA1,然然后后连连接接 AA1,BB1,CC1,则则三三线线交交于于一一点点 P,则则点点 P 就就是是所所求求的的费费马马点点 . (2).若若三三角角形形有有一一内内角角大大于于或或等等于于120 度度,则则此此钝钝角角的的顶顶点点就就 是是所所求求.(3)当当ABC 为为等等边边三三角角形形时时 ,此此时时外外心心与与费费马马点点重重合合（1） 等边三
8、角形中 BP=PC=PA，BP、PC、PA 分别为三角 形三边上的高和中线、三角上的角分线。 是内切圆和外切圆的中 心。BPCCPAPBA。（2） 当 BC=BA 但 CAAB 时，BP 为三角形 CA 上的高和中线、三角上的角分线。 编编辑辑本本段段证证明明(1)费马点对边的张角为 120 度。CC1B 和AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60 度=ABA1,CC1B 和AA1B 是全等三角形 ,得到PCB=PA1B同理可得CBP=CA1P由PA1B+CA1P=60 度，得PCB+CBP=60 度,所以CPB=120 度同理,APB=120 度，APC=120 度(2)
9、PA+PB+PC=AA1将BPC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与BDA1 重合，连结 PD，则PDB 为等边三角形，所以4BPD=60 度又BPA=120 度，因此 A、P、D 三点在同一直线上，又CPB=A1DB=120 度，PDB=60 度，PDA1=180 度，所以 A、P、D、A1 四点在同一直线 上，故 PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC 最短在ABC 内任意取一点 M（不与点 P 重合） ，连结 AM、BM、CM，将BMC 以点 B 为旋转中心旋 转 60 度与BGA1 重合，连结 AM、GM、A1G(同上)，则 AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以
10、费马 点到三个顶点 A、B、C 的距离最短。平面四边型费马点平面四边型中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。（1）在凸四边型 ABCD 中，费马点为两对角线 AC、BD 交点 P。（2）在凹四边型 ABCD 中，费马点为凹顶点 D（P） 。7（自编）（自编） 已知 O 点坐标为（0，0） ，A 点坐标为（8，0） ，B 点坐标为（0，8） ，在平面直角坐标系上确定点 P，使 OPAPBP 最小。并求出点 P 坐标和 OPAPBP 的最小值。8 （自编）（自编）已知 O 点坐标为（0，0） ，A 点坐标为（5，0） ，B 点坐标为（，） ，在平面直角坐标系上确定点 P，使3 2332
11、 OPAPBP 最小。并求出点 P 坐标和 OPAPBP 的最小值。9、若 P 为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.ABC120APBBPCCPA PABC （1）若点为锐角的费马点，且，则的值为_；PABC60ABCPAPC，3，4PB （2）如图，在锐角外侧作等边连结.ABCACBBB 求证：过的费马点，且=.BBABCPBBPAPBPCACBB525.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为xOyB)2 , 0(Dx30ODBOE的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.BODBE23 6yaxxcxAFAF（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线
12、段上，求及的长；OMNMNAEAEAM （3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，PABOmPAPBPOmm 线段的长.AP（备用图）613 通州 24已知：，以 AB 为一边作等边三角形 ABC.使 C、D 两点落在直线 AB 的两侧.2AD 4BD （1）如图，当ADB=60时，求 AB 及 CD 的长； （2）当ADB 变化，且其它条件不变时，求 CD 的 最大值，及相应ADB 的大小.1 房山房山 28如图 1，已知线段 BC=2，点 B 关于直线 AC 的对称点是点 D，点 E 为射线 CA 上一点，且 ED=BD，连接 DE，BE.(1)依题意补全图 1，并
13、证明：BDE 为等边三角形；(2)若ACB=45，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F，连接 FD、FB.将CDE 绕点 D 顺时针旋转 度（0360）得到，点 E 的对应点为 E，点 C 的对应点为点 C.C DE如图 2，当 =30时，连接证明：=；BCEFBC如图 3，点 M 为 DC 中点，点 P 为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段 PM 长度的C E取值范围？2 顺义顺义 28如图，ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且APB=ABC（1）如图 1，若BAC=60，点P恰巧在ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图 2，若BAC=60，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图 3，若BAC=120，请直接写出PA，PB，PC的数量关系ADBCE DCEBCFA E DMCEBCFAP图 1DCBA图 2图 37图3图1图2ABCPABCPABCP
