《2018届高考数学黄金考点精析精训考点05函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)理.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学黄金考点精析精训考点05函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)理.（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 考点考点 5 5 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 【考点剖析考点剖析】 一最新考试说明：一最新考试说明： 1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性 2理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性 3利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值 二命题方向预测：二命题方向预测： 1利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的 热点 2函数的奇偶性是高考考查的热点 3函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求 函数值及求参数值等问题是重点，也是难点 4题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识
2、点交汇命题 三课本结论总结：三课本结论总结： 1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点 对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定 函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法 等 2若奇函数定义域中有 0，则必有(0)0f即0( )f x的定义域时，(0)0f是 ( )f x为奇函数的必要非充分条件 对于偶函数而言有：()( )(|)fxf xfx 3确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定） 、导数 法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等
3、等 4若函数 fx 的定义域关于原点对称，则 fx 可以表示为 11 22 f xf xfxf xfx ，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶 函数的和 5既奇又偶函数有无穷多个（( )0f x ，定义域是关于原点对称的任意一个数集） 6复合函数的单调性特点是：“同增异减” ；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内 奇同外” 复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义） 2 7函数 xfy 与函数xfy的图像关于直线0x（y轴）对称 8函数 xfy 与函数 xfy的图像关于直线0y（x轴）对称 9函数 xfy 与函数yfx 的图像关于坐标原点中心对称 10函数 x ya与函数log0,1 a
4、yx aa的图像关于直线yx对称 四、名师二级结论：四、名师二级结论： 一个防范一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数 1 y= x 分别在 (，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0) (0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不 能用“”连接 一条规律一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都 满足相同的关系时，才能判断其奇偶性 两个应用两个应用 1已知函数的奇偶性求函数的解析式 抓住奇偶性讨论函数在各
5、个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程， 从而可得f(x)的解析式 2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可 得知字母的值 三种方法三种方法 判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法 在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的 变通形式： f(x)f(x) f(x)f(x)0 () ( ) fx f x 1，f(x)0 五、课本经典习题：五、课本经典习
6、题： 3 (1)新课标人教 A 版必修一第 36 页练习第 1（3）题 判断下列函数的奇偶性：( ) 2 1x f x x + = 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式 (2)新课标人教 A 版必修一第 44 页复习参考题 A 组第八题 设 2 2 1 ( ) 1 x f x x ，求证：（1）()( )fxf x；（2） 1 ( )( )ff x x 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展 (3)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 3 题 对于函数 2 21 x f xaaR （1）探索函数( )f x的单调性；（2）是否存在实数 a 使 (
7、 )f x为奇函数？ 【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展 (4)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 4 题 设( ), ( ) 22 xxxx eeee f xg x ，求证： （1） 22 ( )( )1g xf x；（2）(2 )2 ( )( )fxf xg x；（3） 22 (2)()( )gxg xf x 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展 六考点交汇展示：六考点交汇展示： (1)(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇函数的奇偶性与函数的零点交汇 例 1 【2018 届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数 f x是定
8、义在 ,00,上的偶函数，当0x 时， 1 21,02 1 2 ,2 2 x x f x f xx ，则函数 41g xf x的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】求函数 41g xf x的零点个数只需考查方程 1 4 f x 的实根个数， 4 当02x时， 1 1 1 21,12 21 1 1,01 2 x x x x f x x ， f x在0,1上递减，在 1,2上递增， 21f，值域为 0,1. 当2x 时， 1 2 2 f xf x 当24x时，函数 f x的值域为 1 0, 2 ， 当46x时，函数 f x的值域为 1 0, 4 ， 当6
9、8x时，函数 f x的值域为 1 0, 16 ， 1 4 f x 在0x 上有5个实根，又函数为偶函数， 1 4 f x 在 ,00,上 有 10 个实根，函数 41g xf x的零点个数为 10 个，选 D. (2)(2) 函数的周期性与函数的零点交汇函数的周期性与函数的零点交汇 例 2 【2017 江苏，14】设( )f x是定义在R 且周期为 1 的函数，在区间0,1)上, 2, , ( ) , xxD f x xxD 其中集合 1, * n Dx xn n N，则方程( )lg0f xx的解的个数是 . 【答案】8 【解析】由于( )0,1)f x ，则需考虑110x 的情况 在此范围
10、内，xQ 且xZ 时，设 * , ,2 q xp qp p N ，且, p q 互质 若lg xQ ，则由lg(0,1)x ，可设 * lg,2 n xm nm m N ，且,m n 互质 因此10 n m q p ，则10() nm q p ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg xQ 因此lg x 不可能与每个周期内xD 对应的部分相等， 只需考虑lg x与每个周期xD 的部分的交点， 5 (3)(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题 例 3 【2017 河北定州中学】函数 f x是定义在R上的奇函数，当0x 时， 2 ,01 1 1
11、 ,1 2 x x f x f xx ,则方程 1 f x x 在3,5上的所有实根之和为（ ） A0 B2 C4 D6 【答案】C 【考点分类考点分类】 热点一热点一 函数的单调性函数的单调性 1 【2016 高考北京文数】下列函数中，在区间( 1,1) 上为减函数的是（ ） A. 1 1 y x B.cosyx C.ln(1)yx D.2 x y 【答案】D 【解析】由 1 2( ) 2 xx y 在R上单调递减可知 D 符合题意，故选 D. 2.【2017 北京，理 5】已知函数 1 ( )3( ) 3 xx f x ，则 ( )f x （A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函
12、数，且在 R 上是增函数 6 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 3下列函数中，满足“ f xyf x fy”的单调递增函数是（ ） （A） 1 2 f xx （B） 3 f xx （C） 1 2 x f x （D） 3xf x 【答案】D 【解析】A选项：由 1 2 f xyxy， 111 222 ()f x fyxyxy，得 f xyf x fy，所以A错误；B选项：由 3 f xyxy， 333 ()f x fyxyxy，得 f xyf x fy，所以B错误；C选项：函数 1 2 x f x 是定义在R上减函数，所以C错误；D选项：由3
13、x yf xy ， 333 xyx y f x fy ，得 f xyf x fy；又函数 3xf x 是定义在 R上增函数，所以D正确故选D 【方法规律】 1对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解 (2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进 行 2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f
14、(x)的图象易作出，可由图象的直观性 写出它的单调区间 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 7 3函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1) f(x2)x1x2，函数不等式(或方程)的 求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都 必须在定义域内或给定的范围内进行 【易错点睛】 误区误区 1 1求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错 【例 1】求 y 2 412xx的单调区间 【错解】令 tx24x12，则 tx24x12 在(，2上递减，在2，)上递增， 又 yt是增函
