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1、第 1 页 共 22 页黄金分割专项练习黄金分割专项练习 30 题（有答案）题（有答案）1定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BCAB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2，ABC 中，AB=AC=1，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）求出线段 AD 的长2如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD（ABAD） （1）若这个矩形的面积等于 99cm2，求 AB 的长度； （2）这个矩形的面积可能等于 101cm2吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金
2、矩形（AD 与 AB 之比等于黄金比） ，求该矩形的面积 （结果保留根号）3定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BCAB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点 如图 2，ABC 中，AB=AC=2，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）求出线段 AD 的长第 2 页 共 22 页4作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比 （1）尺规作图并保留作图痕迹； （2）写出你的作法； （3）证明：腰与底之比为黄金比5 （1）已知线段 AB 的长为 2，P 是 AB 的黄金分割点，求 AP 的长； （2）求作线段 A
3、B 的黄金分割点 P，要求尺规作图，且使 APPB6如图，线段 AB 的长度为 1（1）线段 AB 上的点 C 满足系式 AC2=BCAB，求线段 AC 的长度； （选做） （2）线段 AC 上的点 D 满足关系式 AD2=CDAC，求线段 AD 的长度； （选做） （3）线段 AD 上的点 E 满足关系式 AE2=DEAD，求线段 AE 的长度； 上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设 x 和 l）7如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，1=2，请问点 D 是不是线段 AC 的黄金分割点请说明理由第 3 页 共 22 页8在ABC 中，AB=AC=2，BC=1，A=36，B
4、D 平分ABC，交于 AC 于 D试说明点 D 是线段 AC 的黄金分割点9在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形 ABCD 中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形 ABCD请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF=EB；以线段 AF 为边作正方形 AFGH则点 H 是 AB 的黄金分割点 为什么说上述的方法作出的点 H 是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说11如图，已知ABC 中，D 是 AC 边上一点，A=3
5、6，C=72，ADB=108求证： （1）AD=BD=BC； （2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点第 4 页 共 22 页12已知 AB=2，点 C 是 AB 的黄金分割线，点 D 在 AB 上，且 AD2=BDAB，求的值13如果一个矩形 ABCD（ABBC）中，0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE（如图） ，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请 说明你的结论的正确性14五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点 C，D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AB=20cm，求 EC+CD 的长15人的肚
6、脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为 0.618 时，是比较好看的黄 金身段一个身高 1.70m 的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16如图所示，以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上 （1）求 AM，DM 的长； （2）点 M 是 AD 的黄金分割点吗？为什么？第 5 页 共 22 页17如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，设以 AP 为边长的正方形面积为 S1，以
7、PB 为宽和以 AB 为长的矩形面积为 S2，试比较 S1与 S2的大小18如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 AD 延长线上的一点，且 D 为 AE 的黄金分割点，即，BE 交 DC 于点 F，已知，求 CF 的长19图 1 是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图 2 所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形 EFDC，那么 EFDC 这个矩形还是 黄金矩形吗？若是，请根据图 2 证明你的结论；若不是，请说明理由20 （如图 1） ，点 P 将线段 AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段 BP，如果，那么称
8、点 P 为线段 AB的黄金分割点，设=k，则 k 就是黄金比，并且 k0.618第 6 页 共 22 页（1）以图 1 中的 AP 为底，BP 为腰得到等腰APB（如图 2） ，等腰APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足0.618 的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ；（2）如图 1，设 AB=1，请你说明为什么 k 约为 0.618； （3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S的图形分成面积为 S1和面积为 S2的两部分（设 S1S2） ，如果，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线 （如图
9、3） ，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么直线 CP 是ABC 的黄金分割线吗？请说明理由； （4）图 3 中的ABC 的黄金分割线有几条？21在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近 0.618，越给人 以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起 来更美？（精确到十分位）22已知线段 AB，按照如下的方法作图：以 AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连接 EB，延长 DA 到 F，使 EF=EB，以线段 AF 为边，作正方形 AFGH，那么点 H 是线段 AB
10、的黄金分割点吗？请说明理由23如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折 叠使 EB 落到线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B，因而 EB=EB类似地，在 AB 上折出点 B使 AB=AB这时 B就是 AB 的黄金分割点请你证明这个结论第 7 页 共 22 页24如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2 的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE， 然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置 F，因而 EF=EB类似的，在 AB 上折出点 M 使 AM=AF则 M 是 AB 的黄
11、金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由25如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC，已知ACE=108，BC=2 （1）求B 的度数； （2）我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； 求 AD 的长； 在直线 AB 或 BC 上是否存在点 P（点 A、B 除外） ，使PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点 P， 简要说明画出点 P 的方法（不要求证明） ；若不存在，说明理由26宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协
12、调，匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形 ABCD； 第二步：分别取 AD，BC 的中点 M，N，连接 MN； 第三步：以 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E； 第四步：过 E 作 EFAD，交 AD 的延长线于 F 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形第 8 页 共 22 页27在ABC 中，AB=AC，A=36，把像这样的三角形叫做黄金三角形 （1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形 ABC 分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄 金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出
13、能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法， 不要求证明分别画在图 1，图 2，图 3 中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法（2）如图 4 中，BF 平分ABC 交 AC 于 F，取 AB 的中点 E，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于 M试判断 CM 与 AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明 答：CM 与 AB 之间的数量关系是 28折纸与证明用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1） ，先将一张正方形纸片 ABCD 对折，得到折痕 EF；再折出矩形 BCFE 的对角线 BF 第二步：如图（2） ，将 AB 边折到 BF 上，得到折痕 BG，试
14、说明点 G 为线段 AD 的黄金分割点（AGGD）29三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1，在ABC 中，已知：AB=AC，且A=36 （1）在图 1 中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D，并连接 BD（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；第 9 页 共 22 页（3）设，试求 k 的值；（4）如图 2，在A1B1C1中，已知 A1B1=A1C1，A1=108，且 A1B1=AB，请直接写出的值30如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某研
15、究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S2，如果，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点（如图 2） ，则直线 CD 是ABC 的黄金分割 线你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点 F，连接 EF（如图 3） ，则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线请你说明理由 （4）如图 4，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EFAD，交 DC 于点 F，显然直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平行四边形 ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD 各边黄金分割点第 10 页 共 22 页黄金分割专项练习黄金分割专项练习 30 题题参考答案参考答案:1 （1）证明：AB=AC=1，ABC=C= （180A）= （18036）=72，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，ABD=CBD= ABC=36，BDC=1803672=72，DA=DB
