《量子力学的基本理论和基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学的基本理论和基本概念（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、量子力学的基本理论和基本概念,一. 波粒二像性 二. 测不准原理 三. 波函数与薛定谔方程 四. 原子结构的量子理论,波粒二像性,（一）光的波粒二象性 (1)普朗克的量子假说 (2)光电效应实验 (3)光电效应的基本特征和规律 (4)爱因斯坦方程和光子 (5)爱因斯坦对光电效应的解释 (6)光子的能量、质量和动量 （二）粒子的波性 (1) 德布罗意波 (2)电子衍射实验 (3)德布罗意波的统计解释,普朗克的量子假说,普朗克在解释黑体辐射时,于1900年提出了他的量子假说,从而成功地解释了黑体辐射现象。普朗克的假设是:(1) 黑体在发射或吸收辐射能时,能量是量子化的,即能量只能是某个最小能量单元
2、E0 (能量子)的整数倍 E=nEo = nh(n=1,2,3.) (24.3-1) 式中,h为普朗克常数,h=6.6310-34Js. (2)物质辐射或吸收能量是由物质中带电的线性谐振子完成的,与经典物理学不同,这些谐振子只能处于某些具有量子化能量的特定状态。在物质吸收或辐射能量时,谐振子从一个量子能态迁到另一个量子能态。,光电效应实验,1.光电效应的实验定律 光电效应实验的示意图如图所示。 强度为I的紫外光照射到阴极K上,电路中即有电流i流过。这种电流称为光电流。光电流的产生说明光照能使阴极中的电子逸出。这种电子称为光电子。为了消除空气分子的干扰,阴极K与阳极A都密封在抽成真空的玻璃管中。
3、,光电效应的基本特征和规律,1. 光电流几乎是在光照下立即出现的。 2. 光的频率与端电压V一定时,光电流与光强I成正比,就是说,在光照下从阴极逸出的光电子数与光强成正比。 3. 光的频率与强度I一定时,V-i特性曲线有两个特点:(1)当端电压超过一定值后,光电流会达到饱和,饱和电流is与光强成正比,即饱和光电子数与光强成正比;(2)端电压减少到零时,光电流并未减少到零而存在一个使光电流减少到零的反向截止电压V0,如图24-4所示,即光电子动能有一与光强无关的上限Ek=eV0 (24.4-1),光电效应的基本特征和规律,4. 光电流的反向截止电压V。与光的频率成线性关系 eV0 =Ek= h(
4、-0) (24.4-2),其中, 0是能够发生光电效应的最低频率,称为光电效应的截止频率或红限,与阴极材料有关,与光强无关。,2.光的波粒二象性,如何从物理上解释光电效应的这些特征和规律?按照光的电磁波动理论,光的能量只决定于光的强度,而与光的频率无关。显然,光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。事实上,光电效应揭示了光除了波动外的另一属性光的粒子性。只有假设光是一种粒子,才能使光电效应的各个实验定律得到圆满的解释。这正是爱因斯坦的伟大贡献之一。这样光就具有波动和粒子双重属性,这种性质称为光的波粒二象性。,1.爱因斯坦方程和光子,为了解释光电效应的实验定律,爱因斯坦在普朗克量子假说的基础上,
5、于1905年提出了关于光的粒子性的光子假说。他认为,光不仅像普朗克假设的那样在被发射或吸收时具有粒子性,而且在空间传播时也具有粒子性,即光是一粒一粒以光速运动的粒子光量子,也称为光子。每一光子的能量 E=h (24.5-1) 爱因斯坦根据他提出的光子假设,对光电效应成功地做出了下面的解释:金属中的自由电子被晶格离子束缚在金属内,虽然具有较低的势能,但要使它逸出金属表面,仍必须给它一定能量A这种金属表面的脱出功。光电子的动能Ek与脱出功A之和,就是它吸收一个光子所获得的能量 h = Ek+A (24.5-2),爱因斯坦对光电效应的解释,电子从照射的光束吸收能量时,是一次性吸收整个一个光子的能量,
6、不需要积累时间。所以,光电效应是瞬时性的,弛豫时间极短。 入射光的光强越大,光束中所含的光子数就越多,于是在光照下产生的光电子数也越多,光电流也越大。由此可以说明光电流与光强成正比这一实验事实。 对于一定的阴极材料,脱出功A是一定的。照射光的频率降低,则光电子的最大动能Ek减小。频率降到红限0时,光电子最大动能减为0,这时光电子吸收光子的能量完全用来克服脱出功,即A = h0 (24.5-3) 入射光的频率小于红限时,电子吸收的能量小于脱出功,因此不会产生光电效应。普朗克常数是微观物理的一个重要的基本常数,测量光电效应中反向截止电压V。与照射光的频率就可定出普朗克常数。,2.光子的能量、质量,
7、每个光子的能量定义为: E= h, 按相对论的质量能量关系式,每个光子的质量mg,可写作mg的量值应是有限的。按相对论的运动质量与“静止”质量之间的关系式光子的“静止”质量等于零。,光子的动量,光子具有运动质量和速度,因此光子也具有动量。按相对论的能量动量关系式由于光子的mo为零,因此光子的动量的大小p = E/c =h/c = h/ (24.5-7) 用n表示沿光子运动方向的单位矢量,则光子的动量矢量为(24.5-8) k称为波矢, 。 由于光子具有能量和动量,当光照射在物体上时,对物体的反射面或吸收面将有压力作用。,德布罗意波,1924年德布罗意(L.deBrolie)在光的二象性的启发下
8、,提出实物粒子，如电子、质子、中子等也具有波粒二象性的假设,他认为19世纪在对光的研究上,只重视了光的波动性,忽略了光的粒子性;那么会不会在实物粒子的研究上,发生了相反的错误;即过份重视了它的粒子性,而忽视了波动性,因此,他提出了实物粒子也具有波动性的假设。按照德布罗意的假设,质量为m的粒子,以速度v匀速运动时,具有能量E和动量p;从波动性方面来看,它具有波长和频率,而这些量之间的关系也和光波的波长、频率与光子的能量、动量之间的关系一样,应遵从下述公式:E=mc2=h (25.3-1)p=mv=h/ (25.3-2),德布罗意波,所以对具有静止质量mo的实物粒子来说,若粒子以速度v运动时,则和
9、该粒子缔合在一起的平面单色波的波长是:(25.3-3) 这种和物质缔合在一起的波通常称为德布罗意波或物质波,式(25.3-1)和(25.3-2)称为德布罗意公式。,以电子为例,假设电子被电势差U所加速,当它的速度远小于光速时,电子的速度将由下式决定,2.电子衍射实验,德布罗意波的概念提出以后,很快就在实验上得到证实。其中最著名的是1927年戴维逊(C.j.Davissen)和革末(L.H.Gemer)的电子衍射实验。,电子衍射花样,电子衍射实验2,为了解释上述实验结果,我们必须认为电子也具有波动的性质,并把上述实验看做是电子波的衍射。从两相邻原子层散射出来的电子波相互干涉而加强的条件应为 2d
10、sin = k (k=1、2、3) 以电子波的波长 = h/mv 代人上式,则有2dsin=k=kh/mv 因 , 故有 即 (k=1、2、3) (25.3-7)加速电势差U满足(25.3-7)式时,电子流强度I具有极大值。由此计算所得的电势差U的各个量值与实验结果相符合,因而证明了德布罗意的假设是正确的,即电子具有波动性。,3.德布罗意波的统计解释,在经典物理学中,波和粒子是截然不同的两种概念,二象性的发现迫使人们把这两种对立的属性统一到同一物体上,一度引起了思想上的某些混乱,但爱因斯坦等物理学家则注意到这一假说的重大意义。对实物粒子的令人信服的解释是1926年由波恩(M.Born)提出来的
11、。 普遍地来说,在某处德布罗意波的振幅平方与该处粒子出现的几率成正比。这就是德布罗意波的统计解释。,二. 测不准原理,微观粒子的二象性揭示了微观粒子具有与经典粒子根本不同的属性, 测不准关系就是这样一种重要的物理表现。以电子的单缝衍射为例,图25-10,如果只考虑第一级最小, 衍射角,应满足下列条件: sin =/x 假定我们把电子看做宏观物体,用位置X和动量p来描述它的运动,则当电子通过狭缝的瞬时几率不为零的区域就是缝宽x,所以可以近似把x看成坐标不确定范围。 在同一瞬时,由于衍射的缘故,粒子动量的方向有了改变,而大小不变,为了定量研究通过狭缝后px的分布情况,可近似认为所有电子都落在中央极
12、大所在的范围,因此,在x方向上电子动量的不准量为:px=psin=p/x=h/x，即xpx=h, 一般来说有 xpx (25.4-1) 上式叫做海森伯测不准关系。,测不准原理2,值得指出的是,对时间和能量的同时测量,也存在类似的关系。如果用E表示能量的不准量,t表示时间的不准量,则有 Et (25.4-2) 应用式(25.4-2),可以解释原子激发能级的有限宽度E跟它在激发态的平均寿命呈反比关系。设原子在激发态的时间10-8s,由上式可知原子的激发能级不可能测得很准,而有着一定的有限宽度E / 1.010-26J,说明原子光谱的谱线必有一定宽度。,三. 波函数与薛定谔方程,1.波函数及其物理意
13、义2.薛定谔方程与定态薛定谔方程3. 算符和量子力学中的力学量4. 薛定谔方程用于自由电子,1.波函数及其物理意义,由于微观粒子运动具有波动性,因此我们应该用一个波动方程来描述它。下面我们先来寻找自由粒子做匀速直线运动时的波动方程。假设有一个以动量p、能量E做匀速直线运动的自由粒子,定义它的粒子波的波函数为根据德布罗意假设,表征粒子波的波动性的波长和频率与粒子的动量p和能量E间的关系应为=h/p和=E/h, 所以式(25.5-3)可写成,波函数及其物理意义2,由于(x,t)是复指数函数,其模量的平方02也就等于(x,t)与它的共轭函数*(x,t)的乘积*。若所考虑的自由粒子不是沿x方而是沿矢径
14、r方向传播,可得其波函数为这时在空间一很小的区域x+dx,yy+dy,zz+dz内,可视为不变,显然粒子在体积元d=dxdydz内出现的几率应正比于体积d,因而就表示粒子在t时刻在(x,y,z)处体积元d中出现的几率,|2=*,就表示粒子在t时刻在(x,y,z)处单位体积内出现的几率,称为几率密度,这就是波恩在1926年对波函数提出的统计解释,也就是波函数的物理意义。,波函数及其物理意义3,波函数的标准条件 对于空间的给定点,几率是唯一的,所以波函数是单值的;几率不会在某点发生突变,因而函数必须是连续的;几率是不能无限大的,具体的说应该小于1,因此波函数又应该是有限的。 另外,因为粒子总是要在
15、空间出现的,因此,某时刻在整个空间粒子出现的几率的总和应该是1,即值得注意的是经典波的波函数本身是有明确的物理意义的,它们的平方对应时刻t,在空间,r处波的强度,而物质波的波函数本身没有直接的物理意义,有直接物理意义的是波函数绝对值的平方,它代表粒子出现的几率。,2.薛定谔方程,在德布罗意假设的基础上,薛定谔(E.Schrodinger)于1926年建立了势场中微观粒子的德布罗意波所遵循的微分方程。为此,我们先来研究一下一维运动的自由粒子的德布罗意波所遵循的微分方程。自由粒子沿x方向匀速直线运动的波函数(25.5-4)为将波函数分别对x变量求二阶偏导数和对t变量求一阶偏导数, 并考虑到非相对论条件下,自由粒子的动能Ek和动量p之间关系为p2=2mEk,用 2/2m 乘以式1,用 i乘以式2,并利用式3 p2=2mEk可得,
