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1、,第6节 曲线与方程,基 础 梳 理,1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的_都是这个方程的_； (2)以这个方程的_为坐标的点都是曲线上的点 那么，这个方程叫做_；这条曲线叫做_,坐标,解,解,曲线的方程,方程的曲线,2求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0，并化简； (4)查漏补缺,3求动点轨迹方程的常用方法 (1
2、)直接法也叫直译法，即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简 (2)定义法先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程 (3)代入法也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x，y)相关联，可先用x，y表示x、y，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程 (4)参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程,12014北京市海淀区高三模拟)方程x2xyx的曲线是( ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 解析：由x2xyx得x(xy1)0， 即x0或xy10，为两条直线，
3、选C. 答案：C,2到A(2，3)和B(4,1)距离相等的点的轨迹方程为( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy70 D2xy70答案：A,3若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线故选D. 答案：D,考 点 突 破,利用直接法求轨迹方程,(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简 (2)运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是
4、不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略,例2 (2013年高考新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.,利用定义法求轨迹方程,思维导引 (1)写出点P满足的几何条件，根据圆锥曲线的定义判断轨迹的类型再求方程 (2)由圆P的半径最长确定圆P的方程，再由l与两圆相切确定l的方程，与曲线C联立可求得弦AB的长,(1)求轨迹方程时，若动点满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直
5、接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程 (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x和y进行限制,即时突破2 (1)已知圆P过点A(1,0)且与直线l：x1相切，则圆心P的轨迹方程为_ (2)若动圆P过点N(2,0)，且与另一圆M：(x2)2y28相外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是_ 解析：(1)设动圆半径为r，P到l的距离为d，则由题意知， |PA|r， dr， 故|PA|d，又因A/ l，由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y24x.,利用相关点法(代入法)求轨迹方程,思维导引 用重心坐
6、标表示C点坐标，代入曲线方程整理,由点C在曲线y3x21上， 得3y23(3x2)21， 整理得y9x212x3， 故ABC重心的轨迹方程为y9x212x3.,相关点法求轨迹方程的一般步骤为： (1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)；,分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的应用 典例 平面内与两定点A1(a,0)、A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线 求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系 分析：设动点M的坐标，并用坐标表示点M的条件，化简即得曲线C的方程，然后根据m的不同取值分类讨论曲线的形状,由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论，本例中由于m0，而x2与y2的系数相等时m1，故分m1，m1，1m0，m0四种情形进行讨论,
