《孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7 非简谐效应》由会员分享，可在线阅读，更多相关《孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7 非简谐效应（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.7 非简谐效应,一、 晶体的热传导,本节主要内容:,二、 晶体的热膨胀,4.7 非简谐效应,在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；,晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。,也就是说,在简谐晶体中,声子态是定态,携带热流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.,所以，用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。,实际上，原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。,当在晶体的势能展开式中，考虑3次方及其
2、以上的高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性独立的谐振子.,通常把3次方及其以上的高次项称为非简谐项。,如果原子的位移相当小，则非简谐项和简谐项(2次方项)相比为一小量，则可把非简谐项看成微扰项。,由于微扰项的存在，这些谐振子就不再是相互独立的了，而相互间要发生作用，即声子和声子之间要相互交换能量。,这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子。即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生。,这样，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。,所以，非简谐项的存在是使晶格振动达到热平衡的最主要原因.,一般把从简谐晶体的声子出
3、发，在此基础上做进一步修改的方法，称为准简谐近似。,一、 晶体的热传导,1. N过程和U过程,把声子看成准粒子后，非简谐项的微扰作用，可导致声子态之间的跃迁。,这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用，或声子之间的碰撞或散射。,声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。,非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程，如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子；非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子过程。,三声子过程(势能展开取到3次方项),四声子过程 (势能展开取到4次方项),两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.,声子的这
4、种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制.,由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而产生第三个声子。,该过程遵循能量守恒和准动量守恒。,设两个相互碰撞的声子的频率和波矢分别为1、q1和2、q2；而第三个声子的频率和波矢为3、q3，对于该三声子过程，则有:,由于晶格振动的状态是波矢的周期函数，即q 态和q + Gh态等价。因此还有如下等效关系,实际情况确实存在上述两种对应关系.,比如在研究热阻时，发现两个同向运动的声子相互碰撞，产生的第三个声子的运动方向与它们相反，即运动方向发生倒转。,因此两
5、个声子的碰撞过程可以满足,称为正常过程(normal process)或N过程.,两个声子的碰撞过程也可以满足,称为倒逆过程(Umldapp process)或U过程，也叫反转过程。,显然对于三声子碰撞过程来说，N过程意味着波矢q1+q2=q3始终在第一布里渊区内，且方向大致相同，因而不改变热流的基本方向.,而U过程则要求波矢q1+q2在第一布里渊区以外，导致q3几乎与q1+q2方向相反.,N过程,U过程,反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射的结果，它是产生热阻的一个重要机制。,2. 晶格的热传导和热导率,我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要是自由电子气体对热能的输运。对于晶格
6、而言，我们可以认为晶格中存在大量的声子气体，声子是热能的携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即,显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，声子数目就少。从而由于温度梯度的存在，将导致声子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准经典解释。,类似于第一章，晶格的热导率满足,由于声子的平均热运动速度一般取成固体中的平均声速，所以基本上与温度无关，因而影响热导率的主要是晶格比热容CV和声子的平均自由程。,其中，CV为晶格比热容，为声子的平均自由程， 为声子的平均热运动速度，常取固体中的平均声速。,声子的平均自由程与声子数目有关，声子数目越多，声子之间的碰撞几率就越大，从而声子的平均自由程就越
7、小；反之，声子数目越少，声子之间的碰撞几率就越小，从而声子的平均自由程就越大。,声子数目可由波色统计给出。,高温时，声子数目满足 :,所以, 高温时, 声子数目与温度成正比, 从而导致声子的平均自由程随温度升高而变小, 即 T-1。,我们知道在高温时, 也就是温度远高于德拜温度时, 晶格比热容CV是一个与温度无关的常数。,因此T D时，晶格的热导率随温度的升高而变小，满足 T-1。,所以，声子数目随温度的升高成指数规律变小，从而导致声子的平均自由程随温度升高而成指数规律变大，即 e A/T。,低温下， T D时，声子数目满足,此外，TD时，晶格比热容CV满足德拜三次方定律，即CV T3。,所以，TD时，晶格热导率满足 T3eA/T。,显然T0时，声子的平均自由程，从而导致晶格热导率。,对于完整的晶体，即不存在杂质和缺陷的晶体，则声子的平均自由程等于晶体的线度D，是一个常数。,实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。,所以TD时，晶体比热CV为常数，导致热膨胀系数为常数；,在很低温度下,TD时, 晶格比热CV T 3，所以热膨胀系数 T 3；,在更低温度(10K左右)，对于金属，由于电子气的作用，热膨胀系数 T。,
