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1、基于灰色系统理论的建模方法介绍,基于灰色系统理论的建模方法介绍,1 灰色系统理论概述 2 灰色系统建模基础 3 灰色关联分析 4 GM(1.1)模型,灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”的不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述。,灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于19世纪80年代初创立并发展的理论，20多年来，灰色系统理论已成功应用到工业、农业、社会、经济等众多领域，解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题。,1 灰色系统理论概述,A,B,C,D,A简单事物 B复杂事物 C确定性事物
2、D不确定性事物, , , , ,半确定的复杂问题,不确定的半复杂问题,半确定的简单问题,确定的半复杂问题,不确定的复杂问题,确定的复杂问题,确定的简单问题,不确定的简单问题,树高在20米至30米,2050年中国人口控制在15亿到16亿之间,灰色系统的基本原理公理1、差异信息原理。差异即信息，凡信息必有差异。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。公理3、最少信息原理灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6、灰性不灭原
3、理“信息不完全”是绝对的。,灰色系统理论,灰色系统分析,灰色系统建模,灰色系统预测,灰色系统决策,灰色系统控制,例如： 小明的年龄在18岁左右，记为 18，或18。 今天的气温在27度到30度之间，记为 27,30,2 灰色系统建模基础,2.1 灰数,灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数，通常用“”表示灰数，用“ ”表示的白化数。,当 a,a且a=a,时，称为白数。 当 （- ， ），或 （ 1 , 2 ）时，称为黑数。,灰数的种类：a、仅有下界的灰数。记为： a, b、仅有上界的灰数。记为： - ,a c、区间灰数既有上界又有下界的灰数。记为： a, ad、连续灰数与离散灰数在某一区间内取
4、有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。 e、本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。,2.2 灰色生成,将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律。,累加生成 累减生成 映射生成,原始数列：,生成数列：,生成方式,特点：杂乱无章,特点：规律性强,累加生成数列：,累减生成数列：,原始数列：,X(0) = ( 3.278 , 3.337 , 3.39 , 3.679 , 3.85),X(1) =
5、( 3.278 , 6.615 , 10.005 , 13.684 , 17.534 ),（AGO）,（IAGO）,X(0) = ( 3.278 , 3.337 , 3.39 , 3.679 , 3.85),3 灰色关联分析,灰色关联分析是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法。 从其思想方法上来看，灰色关联分析属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特征的数据序列所进行的集合比较。用于度量因素之间关联程度的灰色关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。,例：某地区19982004年总收入，工业收入，农业收入,（单位：亿元）,作关联分析首先要指定参考数据
6、列，参考数据列常用x0表示。不同时刻数据表示为：,xo=( x0 (1) , x0 (2) , , x0 (n) ),3.1 数据列的表示方式,xo=( 1 , 1.1, 2, 2.25, 3, 4 ),关联分析中的被比较数列常记为x1，x2，xn。,x1=(1，1.166，1.834，2， 2.34， 3 ) x2=(1，1.125，1.075，1.375， 1.625，1.75 ) x3=(1，1， 0.7， 0.8， 0.9， 1.2 ),xo=(1 , 1.1, 2, 2.25, 3, 4 ),对于一个参考数列x0，有好几个比较数列x1，x2，xn的情况，可以用下述关系表示各比较曲线与
7、参考曲线在各点（时刻）的差。,3.2 关联系数计算公式,因素 xj 对 xi 在t时刻的关联系数,max=maxmax ij(t)，称两级最大差,min=minmin ij(t)，称两级最小差,ij(t)=xi(t)-xj(t),k为介于0，1区间上的灰数,作出函数ij=ij(t)随时间变化的曲线，它就被称之为关联曲线。,例.给出下列数列 x0=20，22，40 x1=30，35，55 x2=40，45，43 试求两级最小差与两级最大差。,解：先求两级最小差 对于i=1时 t=1， x0(1)-x1(1)= 20-30=10 t=2， x0(2)-x1(2)= 22-35=13 t=3， x0
8、(3)-x1(3)= 40-55=15 min x0(k)-x1(k)= min（10，13，15）=10 对于i=2时， t=1， x0(1)-x2(1)= 20-40=20 t=2， x0(2)-x2(2)= 22-45=23 t=3， x0(3)-x2(3)= 40-43=3 min x0(k)-x2(k)= min（20，23，3）=3 minmin x0(k)-xi(k)= min（10，3）=3,求两级最大差 对于i=1 maxx0(k)-x1(k)= max（ x0(1)-x1(1) ，x0(2)-x1(2)， x0(3)-x1(3) ）=max（10，13，15）=15 对于i
9、=2 maxx0(k)-x2(k)= max（ x0(1)-x2(1) ，x0(2)-x2(2)， x0(3)-x2(3) ）=max（20，25，3）=25 maxmax（x0(k)-xi(k)）= max（15，25）=25,3.3 关联度计算公式,rij是曲线xi对参考曲线xj的关联度. 关联度主要取决于各时刻的关联系数ij(t)的值，而ij (t)又取决于各时刻xi与xj观测值之差 ij(t)。,4 GM(1.1)模型,灰色系统建模机理：,原始数列,生成数列,累加生成,GM 模型,建模,生成数列的规律性,研究,原始数列的内在规律性,累减生成, + ax = b,设微分方程为：,x称为背景值，a,b为参数,称,为GM(1,1)模型的原始形式。,原始序列：,一次累加生成序列：,设,其中,则称,为GM(1,1)的基本形式（灰色微分方程）。,为参数列，,设,则灰色微分方程的矩阵形式为：,Y= ,参数列可用最小二乘法求取：,设,为非负序列，,为,的1-AGO（即一次累加）序列，,为,的紧邻均值生成序列，则称,为GM(1,1)模型,的白化方程，也叫影子方程。,白化方程的解也称时间响应函数，为：,时间响应序列为：,还原值为：,GM(1.1)模型的精度检验,相对误差检验法,后验差检验法,关联度检验法,
