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1、数学建模课程设计第 1 页 共 20 页2015-20162015-2016 第第 1 1 学期数学建模课程设计学期数学建模课程设计题目 ：按揭还款姓名：XX学号：XXX班级：XX时间：2016 年 1 月 13 日联系方式：XXX数学建模课程设计第 2 页 共 20 页摘摘 要要随着人们生活水平的不断提高及社会制度的发展,消费观念正在发生深刻的变化。俗话说：“花明天的钱享今天的福”按揭还款的消费方式正是符合了人们当前的消费需求，于是按揭贷款购买住房、汽车、教育、旅游等大件商品已经被越来越多的百姓接受。目前按揭还贷有等额本息还贷法和等额本金还贷的还款方式。允许借贷人与贷款人在双方协商的基础上进
2、行选择，但一笔借款合同只能允许选择一张还款方式，合同签订后，不得更改。本文根据银行购房贷款和我们的日常常识建立数学模型，推导出月均还贷总额、还款总额和利息负担总和的公式。并以一笔 20 万元、10 年的房贷为例，利用已求出的公式，计算出 10 年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式做一次比较。关键字：贷款关键字：贷款; ;等额本息等额本息; ;等额本金等额本金; ;月均还款总额月均还款总额数学建模课程设计第 3 页 共 20 页一一 问题重述问题重述银行目前有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，李先生准备向银行贷款 20 万元购房、计划
3、 10 年还清. 所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法） ，即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。现在我们需要帮助李先生通过建立数学模型分析一下，就两种还款方式，李先生应选择哪种还款方式比较划算. . 1. 李先生每月应向银行还款的数目，10 年到期后 李先生总共要向银行还款的数目。 （贷款 10 年的年利率为 5.94%） 2. 假如李先生计划 8 年还清贷款，李先生每月应向银行还款数目，8 年到期后，李先生总共要向银行还款数目。 3. 假若李先生每月能够向银行还款 1500 元，就两种
4、还款方式，李先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。 试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。二模型假设二模型假设1假设在贷款期间银行利率保持不变；2假设在贷款期间贷款人有能力偿还每月还贷款；3假设在贷款期间贷款人能按时偿还每月贷款额，不会拖欠；4 . 假设在这段时间内不考虑经济波动情况。三问题分析三问题分析目前有两种还款方式。等额本息还款法：每月以相等的额度平均偿还贷款本息， 直至期满还清，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐 渐返还，还供款中本金比重增
5、加。等额本息还款法更适合用于现期收入少，预 期收入稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。而等额本 金还款法:每期还给银行相等的本金,但客户每月的利息负担就会不同. 利息负 担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷时,每月负担比等额本息要重。但 随着时间推移,还款负担便会减轻。所以我们可知等额本金还款法适合目前收入数学建模课程设计第 4 页 共 20 页较高的人群。四模型建立四模型建立问题的参数问题的参数问题参数约定如下：A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息负担总和: 客户向银行贷款的月利率: 客户向银行贷款的
6、年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：（1） （2） （3） mn12DACnBA 模型的建立模型的建立1 1等额本息还款模型：等额本息还款模型：（1）贷款期在 1 年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的 1 号一次到位的. 在本金到位后的下个月 1 号开始还钱，且设在还款期内年利率不变. 因为一年的年利率是 ，那么，平均到一个月就是（/12），也就是月利率 ，即有关系式：12设月均还款总额是x （元）（i=1n）是客户在第 i 期 1 号还款前还欠银行的金额ia(i=1n) 是客户在第 i 期 1 号还钱后欠银行的金额. ib数学建
7、模课程设计第 5 页 共 20 页根据上面的分析，有第 1 期还款前欠银行的金额：)1 (1 Aa第 1 期还款后欠银行的金额： xAxab)1 (11第 2 期还款前欠银行的金额：)1 (12 ba)1 ()1 (2xA第 2 期还款后欠银行的金额：xab22xxA)1 ()1 (2第 i 期还款前欠银行的金额：)1 ()1 ()1 ()1 ( )1)()1 ()1 ()1 (2121 1 xxxAxxAbaiiiii ii 第 i 期还款后欠银行的金额：xxxxAxabiiiii )1 ()1 ()1 ()1 ( 21第 n 期还款前欠银行的金额：)1 ()1 ()1 ()1 ( )1)(
8、)1 ()1 ()1 ()1 (21321 1 xxxAxxxAbannnnnn nn 第 n 期还款后欠银行的金额：xxxxAxabnnn nn)1 ()1 ()1 ()1 (21因为第 n 期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，0nb即：0)1 ()1 ()1 (1xxxAnn0 1)1 ()1()1 (1nnxA数学建模课程设计第 6 页 共 20 页（2） 1 年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1 年期的还款总额为：AC)1 (而利息负担总和为：AACD2 2 等额本金还款模型：等额本金还款模型：银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，
9、还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息. (1)假设贷款期在 1 年以上. 等额本金还款法：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担不同。利息负担随本金的偿还逐期递减。所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。设客户第 i 期应付的金额为 ( i = 1，2 ,n ) (单位：元)ix因此，客户第一期应付的金额为 ：)(1BABx第二期应付的金额为 ：)2(2BABx计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第 53 期
10、，应该还银行4450.00 元，在第 53 期，应该还银行 4433.33 元，与等额本息每月 4440.82 元相当. 而在第 120 期（若年利率不变），应该还银行 3333.33 元，即最后一次只还本金。可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月 4440 元的收入，等额本息还款法还款会更合适. 那么，客户第 n 期应付的金额为 ：)(nBABxn累计应付的还款总额为 ：nxxxC212)2(nA利息负担总和为 ：数学建模课程设计第 7 页 共 20 页AnAACD2)2() 1(21nA（2）1 年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1 年
11、期的还款总额为：AC)1 (而利息负担总和为：AACD五模型求解五模型求解问题参数约定如下：问题参数约定如下：A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息负担总和: 客户向银行贷款的月利率: 客户向银行贷款的年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：（1） （2） （3） mn12DACnBA 1等额本息还款模型等额本息还款模型（1）贷款期在 1 年以上：因为一年的年利率是 ，那么，平均到一个月就是（/12），也就是月利率 ，即有关系式：12数学建模课程设计第 8 页 共 20 页设
12、月均还款总额是x （元）（i=1n）是客户在第 i 期 1 号还款前还欠银行的金额ia(i=1n) 是客户在第 i 期 1 号还钱后欠银行的金额. ib根据上面的分析，有第 1 期还款前欠银行的金额：)1 (1 Aa第 1 期还款后欠银行的金额： xAxab)1 (11第 2 期还款前欠银行的金额：)1 (12 ba)1 ()1 (2xA第 2 期还款后欠银行的金额：xab22xxA)1 ()1 (2第 i 期还款前欠银行的金额：)1 ()1 ()1 ()1 ( )1)()1 ()1 ()1 (2121 1 xxxAxxAbaiiiii ii 第 i 期还款后欠银行的金额：xxxxAxabii
13、iii )1 ()1 ()1 ()1 ( 21第 n 期还款前欠银行的金额：)1 ()1 ()1 ()1 ( )1)()1 ()1 ()1 ()1 (21321 1 xxxAxxxAbannnnnn nn 第 n 期还款后欠银行的金额：xxxxAxabnnn nn)1 ()1 ()1 ()1 (21数学建模课程设计第 9 页 共 20 页因为第 n 期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，0nb即：0)1 ()1 ()1 (1xxxAnn0 1)1 ()1()1 (1nnxA解方程得：1)1 ()1 ( nnAx这就是月均还款总额的公式. 因此，客户总的还款总额就等于：1)1 ()1
14、( nnAnnxC利息负担总和等于：AAnACDnn 1)1 ()1 ( （2） 1 年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1 年期的还款总额为：AC)1 (而利息负担总和为：AACD2 2 等额本金还款模型的求解等额本金还款模型的求解(1)假设贷款期在 1 年以上. 设客户第 i 期应付的金额为 ( i = 1，2 ,n ) (单位：元)ix因此，客户第一期应付的金额为 ：)(1BABx第二期应付的金额为 ：)2(2BABx计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第 53 期，应该还银行4450.00 元，在第 53 期，应该还银行 4433.33 元，与等额本息每月 4440.82 元相当. 而在第 120 期（若年利率不变），应该还银行 3333.33 元，即最后一次数学建模课程设计第 10 页 共 20 页只还本金。可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月 4440 元的收入，等额本息还款法还款会更合适. 那么，客户第 n 期应付的金额为 ：)(nBABxn累计应付的还款
