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1、向北京师范大学师生学习致敬,晚上好,赵克勤 浙江大学非传统安全与和平发展中心集对分析研究所，310058 诸暨市联系数学研究所 311811,集对分析与不确定性 Uncertainty and Set pair analysis,内容提要,1，三次数学危机引出的不确定性问题 2，联系数与集对分析的两个理论 3，一个新的起点,数学从危机中走来,先后经历了3次危机横跨2000多年时空,第一部份,三次数学危机与 不确定性,第1次数学危机,公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他的一个学生考虑了如下问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少？结果发现这一长度既不能用
2、整数也不能用分数表示，而只能用2表示，诞生了第一个无理数,也导致了人们认识上的危机，史称“第1次数学危机”。,第1次数学危机告诉我们： 确定中有不确定,1,“有理”中有“无理”.,1,1,1,2,第1次数学危机告诉我们： 确定中有不确定,请回答：问题,1，无理数可以称不确定数吗？ 2，为什么确定中有不确定？,第2次数学危机,十七世纪初，微积分诞生，当时的微积分理论建立在无穷小分析之上，但什么是无穷小，无穷小量是不是零？无穷小分析是否合理？谁也说不清，由此引起数学界长达100多年的争论， 直到19世纪初，一些数学家才致力于微积分严格基础的建立，这一争论，史称“第2次数学危机”。,第2次数学危机告
3、诉我们：,无穷小具有不确定性,请回答：问题,3，无穷小的不确定来自哪里？ 4，语言无懈可击？,第3次数学危机,十九世纪下半叶，德国数学家康托尔（Georg Cantor, 1845-1918）创立了集合论，开始时遭到许多人的攻击，但最终为大家所接受。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，集合论因而成为现代数学的基石。,罗素悖论,但在1903年，英国数学家罗素（bertrand russell ,1872-1970）构造了一个集合S：S由一切不是自身的元素所组成的集合。然后罗素问：S是否属于S？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于这个集合。因此，对于一个给定的
4、集合，问是否属于它自己是有意义的。就如我们问：我们自己是否属于自己？。,两难境地,对罗素问题的回答会陷入两难境地：如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S属于S，无论如何都自相矛盾。,罗素举了一个例子：理发师悖论,村上一个理发师贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发（设这些人组成集合A），那么，理发师自己的头该由谁理发？如果他不为自己理发，那么，理发师属于A；但这样一来，理发师就不能给自己理发了，也就不能属于A，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？,“羊群中也可能围进了狼”,罗素悖论的发现，说明了作为数学基础的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的显
5、而易见，在构造一个集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界，正如著名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼” ，史称“第3次数学危机 ”。,100多年来,数学家们围绕集合论中的罗素悖论，开展了广泛的，长时期的激烈争论，纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔集合论的改造来排除悖论，形成了逻辑主义、直觉主义、形式主义三大数学流派，促进了现代数学的发展。,哥德尔不完全性定理,美国数学家哥德尔(Kurt Gdel，19061978)于1931年给出证明：任何一个无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必
6、定存在一个不可判定命题，用这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说，在同一个包含初等算术的形式系统中，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的。,哥德尔不完全性定理与集对分析,哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论的一个重要思想来源，也是在联系数中设置i的理论根据之一。,第3次数学危机告诉我们,事物的确定性与不确定性对立统一,请回答：问题,5，罗素悖论给我们哪些启示？ 6，理发师悖论中的不确定性如何处置？,请回答：问题,7，三次数学危机引出的共性问题是什么？ 8，三次数学危机给我们启示又有哪些？,如何客观地认识和处置 确定性与不确定性的关系,是三次数学危机引出的共性问题,第1次数学危机的启
7、示是,确定（的关系）与不确定（的关系）是一个确定不确定系统，单位正方形就是这样的一个确定不确定系统。因为单位正方形的边长1是确定的，但这个正方形的对角线长2是一个无限不循环小数：一个不能确定的数，这一点让人不可思议。,第2次数学危机的启示是,当一个无穷小趋于零的时候，它的起始位置与极限位置构成一个集对，无穷小在趋于零的过程中，要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶段，其中有量变，也有质变，在什么位置发生质变具有不确定性，需要具体分析。,起始,终极,同同同,同,异,反,x0,第3次数学危机的启示是,描述同一个客观事物需要2个集合就如我们需要2只眼睛看东西、2个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只手干
8、活、2条腿走路，而这是大自然的设计，也是罗素悖论给我们的启示。,如果有人问：集对分析从哪里来？,可以回答：集对分析从3次数学危机中来，是2000多年来人类探索不确定性的一个新思路。因为第1次数学危机意外地发现了确定中有不确定，2000多年后的第3次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼” ，充分表明不确定性与确定性是天生的一对，历经2000多年风和雨，形影相随不分离.,第二部份,联系数 与集对分析的 两个理论,由罗素悖论导出“集对” ”（Set pair），,在罗素悖论中，如果用一个确定的集合A描述不能为自己理发的人，用另一个不确定的集合B描述理发师自己，再用AB i描述理发师的全部服务对象（
9、 i 表示不确定），虽然没有解决理发师由谁理发的问题，但避开了悖论，也客观地描述了理发师的全体服务对象，从而给罗素悖论和第3次数学危机一种全新的解读。这里的集A和集B是描述理发师的全部服务对象O（object）所需的两个集合，我们称之为“集对”（Set pair,SP），记为O（A，B）。,集对的定义：,集对就是描述同一个事物所需要的2个集合。这2个集合可以都是确定集，也可以都是不确定集，也可以1个是确定集，另1个是不确定集。（由两个不确定集组成的集对可解读说谎者悖论：“我在说的这句话是谎话”。）,什么是集对分析？,就是分析2个集合的确定性关系与不确定性关系及其这两类关系的联系与转化。,每个人
10、都是“集对人”，,我们的2只眼睛是一个集对、2个鼻孔是一个集对、2只耳朵是一个集对、2只手是一个集对、2条腿是一个集对，从这个意义上说，集对是一个天然的概念，我们每个人都是一个“集对人”.,每个人都在“集对分析”,集对分析是一种自然的分析，我们每个人都在“集对分析”.例如我们看到眼前，又看到长远；眼前是确定的，长远具有不确定性；我们需要物质，也需要精神；物质是确定的，精神具有不确定性；如此等等。,由罗素悖论导出二元联系数A+B i,在集对O=(A,B) 中，如果用A表示确定集A的基数，用B表示不确定集B的基数，用i表示不确定，且在1，1取值，就得到联系数u A+B i，显然，联系数u A+B
11、i是关于对象集O的两个映射集合的联合函数，是罗素悖论的一个数学模型。同时也是集对O（A，B）的特征函数。又由于u A+B i恰好含有2项，所以也称为二元联系数，简称联系数。,数值例子,设村上包括理发师在内共有100人，其中不能为自己理发的有99人，确定属于理发师的服务范围（A=99）；加上理发师1人不能确定是否属于理发师的服务范围（B=1），于是得联系数A+B i=99+1i，这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集O的两个映射集合A（确定集）与B（不确定集）的基数之联系和。,二元联系数在罗素悖论中的应用,假设在罗素悖论中，一个人的理发价是1元钱，那么当理发师自己的头由
12、自己理时，共收入99+1i（i1） 100元；当理发师自己的头由别人理时，他的净收入是99+1i（i1）98元；由此看出，引进集对的概念和二元联系数uABi，使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、合理、简明和流利。,三元联系数,三元联系数U=A+Bi+Cj是集对分析的常用数学工具：其中A是同关系个数（相对确定的测度），B是异关系个数（相对不确定的测度）、C是反关系个数（相对确定的测度），i表示不确定，在1，1取值。,三元联系数可以由罗素悖论导出,假定村子中原来只有理发师L1的基础上又来了一位新理发师L2，这样就有L1，L2共2位理发师，而村子中确定需要理发师们理发的总人数A不变，则由于2位理发师在
13、业务上相互竞争，势必把A分成A1(A10)与A2(A20) 2个部份，设A1是由L1理发的人数，A2是由L2理发的人数，站在理发师L1的角度，这时有联系数A1BiA2j, j在这里代表A2与A1对立之意。一眼看出：联系数A1BiA2j就是站在L1角度的同异反三元联系数.,多元联系数与罗素悖论,依此类推，可以把集对分析中的四元联系数、五元联系数n元联系数分别看作是村子中有3位理发师、4位理发师n1位理发师时站在L1角度建立起来的顾客服务模型。从而说明集对分析中的联系数（包括所谓的多元联系数）都可以从罗素悖论及其扩展形态导出。,联系数是一个大家族,从联系数U=A+Bi+Cj可以导出U=A+Bi(同
14、异型联系数)， U=A+Cj（同反型联系数） ， UBi+Cj（异反型联系数），U=A+Bi+CjDk（四元联系数）， U=A+Bi+CjDkEl(五元联系数)等多元联系数，以及联系数的各种伴随函数，如偏联系数，邻联系数，态势函数，势函数，复联系数，2次联系数，多次联系数，多阶联系数等等。因此，联系数是一个大家族。,集对分析的理论之一： 不确定性系统理论（UST）,联系数用数学的语言给出了一个基于集对分析的重要理论：不确定性系统理论（Uncertainty system theory based on set pair analysis）。要点（main points）有：,UST1：同一对象
15、的确定性关系与不确定性关系是一个不确定性系统,同一个研究对象相对于给定参考集的确定性测度a与不确定性测度b是一个不确定性系统,联系数a+bi既是这个 系统的数学模型，本身也是一个系统。在这个系统中，确定性测度与不确定性测度相互联系、相互影响、相互制约（a+b1 ，i1，1）而且在一定条件下相互转化。,UST2：不确定性系统具有层次性.,不确定性系统中的确定性与不确定性具有层次性. 在a+bi中，首先把a看作处在宏观层，bi处在微观层；当把a、b都看作处在宏观层时，i处在微观层；当对bi作分解时， bi处在宏观层，b1i1， b2i2， bnin处在微观层；由于i1，1，所以也可以把i看作处在宏
16、观层，i2， i3处在微观层；不仅如此，而且a也可以由不同层次的a1等a2， an组成。,UST-3：确定性与不确定性在一定条件下相互转化,不确定性系统中的确定性与不确定性可以在一定条件下相互转化. 例如在二元联系数a+bi中，通过对a的分解，分解出在多次观测分析中相对稳定的a1、a2；和相对不太稳定的an-1 、 an ，并计入b1i1， 而把b1i1， b2i2， bnin中的bnin标为cj (j=-1).,UST-4:确定性与不确定性相互作用,不确定性系统中的确定性测度a与不确定性测度b存在相互作用（物理原理）.相互作用值r的计算公式： r=(a2+b2)1/2 不确定性测度,b,a,r,确定性测度X,UST-5：不确定性系统的省略性描述,只有在忽略不计不确定性的情况下, 才能用一个确定的实数a描述不确定性系统，如在= a + bi 中,只有不计bi 这个不确定的部份, 才能根据a 的大小、a 的变化、a的实际内涵作出分析和得到结果. 容易看出,由于这种分析是在忽略不计不确定性情况下进行, 所得到结果仍将具有一定程度的不确定性、不完整性与不可靠性.,
