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1、第5章 有约束极值问题,最优性条件 （1学时） 二次规划 （1学时） 可行方向法 （1学时） 制约函数法 （1学时） 非线性规划软件求解简介 （1学时） 应用案例 （1学时）,最优性条件 二次规划,重 点：最优性条件，二次规划 难 点: 最优性条件及应用 基本要求：理解可行方向、下降方向、有效约束等概念， 掌握最优性条件，并会用其求解有约束极值问题，掌握 二次规划模型及求解方法，理解序列二次规划的原理和特点。,第9讲 最优性条件和二次规划,一、基本概念,1 起作用（紧）约束,是(I)的可行解，若 则称 为 处的起作用（紧）约束。记 处起作用（紧）约束的下标集,2 可行方向,记,或,时有,称 为
2、 处的可行方向,为（I）或（II）的可行域,定义:,最优性条件（5.1）,p,若 是 的任一可行方向，则有,3 下降方向,时有,称 为 处的下降方向,若 是 的任一下降方向，则有,若,既满足（1）式又满足（2）式则称 为 的下 降可行方向,定理1 为（I）的局部极小值点， 在 处可微，,在,处可微,在,处连续,则在 处不存在可行下降方向。即不存在向量,同时成立,判别条件,判别条件,定义:,二、最优性条件,1、Gordan引理,设,为 个 维向量，不存在向量P 使得,成立,的充要条件是存在不全为零的非负数，使得,成立,2、Fritze John定理,(3) 成立,1,(4),(5),(6),3
3、Kuhn-Tucker条件,设x*是非线性规划（I）的局部极小点,有一阶连续偏导,而且X*处的所有起作用约束梯度线性无关，,则存在数,使得,（7）,成立,成立,（3）,（7）,并令,即得,若x*是非线性规划(II)的局部极小点，,且x*点的所有起作用约束的梯度,和,线性无关。则存在向量,使得,（7）,其中,称为广义拉格朗日(Lagrange)乘子。,库恩塔克条件是确定某点为最优点的必要条件，只要是最优点且此处起作用约束的梯度线性无关。就必须满足这个条件。但一般说来它并不是充分条件，因而，满足这个条件的点不一定就是最优点。,对于凸规划，库恩塔克条件不但是最优点存在的必要条件，它同时也是充分条件。
4、,某非线性规划的可行解X(k)，假定此处有两个起作用约束，,若X（k）是极小点，则,必处于,的夹角之间，,否则，X（k）点处必存在可行 下降方向，它就不会是极小点。 如右图所示。,库恩塔克条件的几何解释：,且其梯度线性无关。,三 举例,例求,的极大值点。并验证其是否为K-T点。说明理由。,解：,1,如上图所示，阴影部分为可行域R，红色直线为目标函数的等值线。显然最大值点为（1，0）。,R,将原问题标准化,x1,x2,0,K-T条件,（1）,（2）,（3）,（5）,（4）,（1）式为,代入上式，得：,故,不是K-T点。,的起作用约束为,线性相关,不是K-T点。,自己验证,是F-J点。,例2 用K
5、-T条件，求解非线性规划,解：1 验证该问题为凸规划,原问题标准化为,半正定，,负定,是凸函数,是凹函数,故该问题为凸规划。,所以,2 求K-T点,该问题的K-T条件为,（1）,（2）,（3）,（4）,是K-T点,(i),(ii),（5）,讨论,(iii),将求出的 带入（6）式都不满足,故该问题有唯一的K-T点 即为极小值点，,(iv),二次规划的数学模型可表示为：,二次规划的数学模型变形为：,（I）,（II）,二次规划(5.2),其中：,书中 为行向量,（III）,例1 求解二次规划问题（例5-3）,解：写出问题对应的矩阵形式如下：,这就形成了式（III）所需要 的全部信息：,（III）,
6、为解此方程组，引入人工变量R1 和R2，目标函数为max z=-R1- R2 对应的初始单纯形表见表5-1。,例2 求解二次规划,（自己练习）,序列二次规划(5.3),序列二次规划的思路,序列二次规划（SQP）算法是将复杂的有约束极值问题转化为比较简单的二次规划（QP）问题求解的算法。利用泰勒展开把有约束极值问题的目标函数 在迭代点 展开成二次函数，将约束条件在迭代点 展开成线性函数得到如下二次规划问题：,此问题是原有约束极值问题的近似问题，但其解不一定是可行解。为此，将上述二次规划问题变成变量 的问题，即,（IV),求解（V）得到迭代的搜索方向,并沿该方向进行一维搜索，得到新的迭代点 ，依此下去，直到满足收敛条件为止。,（V）,将（IV）化为如下二次规划,作业： 习题5 1，2（2）,
