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1、2018/10/3,数字信号处理,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),2018/10/3,数字信号处理,3.1 离散傅里叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,2018/10/3,数字信号处理,式中， ， N称为DFT变换区间长度NM， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明IDFTX(k)的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有,M为整
2、数,M为整数,2018/10/3,数字信号处理,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则,所以， 在变换区间上满足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。,2018/10/3,数字信号处理,设变换区间N=16， 则,2018/10/3,数字信号处理,3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,2018/10/3,数字信号处理,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,2018/10/3,数字信号处理,3
3、.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于WknN的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有,均为整数,所以(3.1.1)式中， X(k)满足,同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n),2018/10/3,数字信号处理,实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即,为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：,2018/10/3,数字信号处理,图 3.1.2 有限长序列
4、及其周期延拓,2018/10/3,数字信号处理,式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数， 则 (n)N=n1 例如，,则有,所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。,2018/10/3,数字信号处理,如果x(n)的长度为N， 且 (n)=x(n)N， 则可写出 (n)的离散傅里叶级数表示为,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),2018/10/3,数字信号处理,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,3.2.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N1和N2
5、。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=maxN1, N2， 则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2k, 0kN-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,2018/10/3,数字信号处理,3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2),2018/10/3,数字信号处理,图 3.2.1 循环移位过程示意图,2018/10/3,数字信号处理,2. 时域循环移位定理 设x(
6、n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循环移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 则 Y(k)=DFTy(n) =W-km NX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,2018/10/3,数字信号处理,证明：,令n+m=n， 则有,2018/10/3,数字信号处理,由于上式中求和项x(n)NWknN以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得,3. 频域循环移位定理如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 则 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.
7、4),2018/10/3,数字信号处理,3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(b) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 则,(3.2.5),2018/10/3,数字信号处理,一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT,令n-m=n， 则有,2018/10/3,数字信号处理,因为上式中x2(n)NW
8、 knN， 以N为周期， 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移位， 特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。 显然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为,2018/10/3,数字信号处理,由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,2018/10/3,数字信号处理,作为习题请读者证明频域循环卷积定理： 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 则,(3.2.6),X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,2018/10/3,数字信号处理,3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序
9、列， 长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0),2018/10/3,数字信号处理,证明： 根据DFT的唯一性， 只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。,又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8),2018/10/3,数字信号处理,图3.2.2 循环卷积过程示意图,2018/10/3,数字信号处理,3.2.5 DFT的共轭对称性 1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列， 下
10、面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(N-m), 0nN-1 (3.2.10),当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到,2018/10/3,数字信号处理,上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。 如图3.2.3所示。 图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,2018/10/3,数字信号处理,图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,2018/10/3,数字信号处理,如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何
11、有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14),2018/10/3,数字信号处理,2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Rex(n)=1
12、/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k),2018/10/3,数字信号处理,由(3.2.7)式和(3.2.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的线性性质即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi
13、(n) , X(k)的共轭反对称分量,2018/10/3,数字信号处理,(2) 如果x(n)=xep(n)+rop(n)， 0nN-1 (3.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共轭反对称分量 由(3.2.8)式得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k) =ReX(k),2018/10/3,数字信号处理,DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k) =jImX(k) 因此X(k)=DFTx(n
14、)=XR(k)+jXI(k)(3.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),2018/10/3,数字信号处理,设x(n)是长度为N的实序列， 且X(k)=DFTx(n)， 则 (1) X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19) (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称， 即 X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称， 即 X(k)=-X(N-k) (3.2.21),2018/10/3,数字信号处理,利用DFT的共轭对称性， 通过计算一
15、个N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT， 设x1(n)和x2(n)为两个实序列， 构成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 对x(n)进行DFT， 得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k),2018/10/3,数字信号处理,由(3.2.16)式、 (3.2.13)式和(3.2.14)式得到 Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k) 所以 X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),2018/10/3,数字信号处理,3.3 频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。 在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,
