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1、2.2.2 反证法,反证法,2.2 直接证明与间接证明,2018/10/3,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,2018/10/3,本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤 本节难点：应用反证法解决问题,教 学 目 标 1知识与技能 结合实例的间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点 2过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力 3情感、态度与价值观 培养学生
2、的数学素养，发展学生的数学思维能力,2018/10/3,前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。,2018/10/3,王戎不取路边李,王戎七岁的时候，曾经与小朋友们一起玩耍。他们见路边有棵李树，结了很多李子把枝条都压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动。有孩子问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这李子一定是苦的。”孩子们摘来一尝，果然是这样。1,2018/10/3,将9个
3、球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？,假设有某种染法使红色球和 白色球的个数都不超过4，,则球的总数不应超过8， 这与球的总数是9相矛盾,假设不正确，因此，无论怎样染 至少有5个球是同色的,思考1：掀起你的盖头来认识反证法,2018/10/3,思考2： A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.,2018/10/3,1反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过 ，最后得出 ，因
4、此说明假设 ，从而证明了原命题 ，这样的证明方法叫做反证法 反证法是 的一种基本方法 2反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与定义、公理、 、 矛盾等,正确的推理,矛盾,错误,成立,间接证明,已知条件,假设,定理,事实,反证法的思维方法：正难则反,2018/10/3,1反证法证明数学命题的四个步骤： 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真,2.常见的主要矛盾有： (1)与数
5、学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾,探究2：深度挖掘了解反证法,2018/10/3,3反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题 4用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“”；“”的反面为“”；“及” 5反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错之处是“假设”错写成“设”,2018/10/3,常见的“结论词”与“反设词”如下：
6、,2018/10/3,适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多-，” ，“至少-”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题。,常见否定用语,是不是 有没有 等不等 成立不成立 都是不都是，即至少有一个不是 都有不都有，即至少有一个没有 都不是 部分或全部是，即至少有一个是 唯一 至少有两个 至少有一个有（是）全部没有（不是） 至少有一个不全部都,反馈练习,假设互补的两个角都大于90.,假设ABC中,至少有两个钝角,2、“已知: ABC中,AB=AC.求证:B180.这与三角形内角和定理相矛盾. (2)所以B90. (3)
7、假设B90. (4)那么,由AB=AC,得B=C90.即B+C180. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1),反馈练习,C,例1（课本例题7） 已知a0， 证明x的方程ax=b有且只有一个根。,分析：要说明两个方面存在性和唯一性； 唯一性时可以用反证法,探究3 常见典型题目类型总结：,2018/10/3,证明；(存在性）a0，方程ax=b至少有一个根x=b/a。 （以下为唯一性）,2018/10/3,2018/10/3,例2 求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60. 证明 假
8、设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60. 相加得ABC180. 这与三角形内角和定理矛盾，所以A、B、C都小于60的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60.,2018/10/3,2018/10/3,解：假设，a,b,c都小于等于0 a+b+c=x2_ 2y+/2+y2 -2z+/3+z2 - 2x+/6 =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2 +-3 0 所以a+b+c 0 这与a,b,c都小于等于0矛盾，假设不成立，原命题成立,2018/10/3,说明 (1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设
9、中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的 (2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法,2018/10/3,练习2变形,练习题讲解： 练习1 假设B不是锐角 练习2 假设可以成等差数列,2018/10/3,1、直接证明困难，原因何在？ 原因： 情况很多，分类讨论 条件太少直接证明找不到突破口 反证法主要用于以下两种情形： 1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。 2、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能，至少，唯一性”等题目常用,课
10、堂小结：,2018/10/3,我来告诉你 1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理,哪些问题适宜用反证法,总之，直接证明比较困难的命题,大家议一议！,2018/10/3,规律方法 当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾,2018/10/3,名家情系反证法,反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起
11、象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！”,2018/10/3,-德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。,同学们，学了这节课，你们有何体会？,反思与收获,你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？,2018/10/3,拓展阅读反证法典型例子,证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作几何原本里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1ai(i=1,2n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！,2018/10/3,作业:,1. 课本P44 习题2.2-3题,2018/10/3,当堂达标，用反证法证明： 如果ab0，那么,2018/10/3,再见,2018/10/3,
