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1、第三节 显著性检验及预测,第三章 多元线性回归模型,一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、回归方程的显著性检验 四、利用方程进行预测,一、多元线性回归模型的统计检验,类似一元回归，多元回归同样可以用拟合优度R2度量样本回归方程拟合样本观察值的程度。R2越接近1，拟合的越好。, 拟合优度,（1）总离差平方和分解,设多元线性回归模型为：,样本回归方程为：,可得总的离差平方和分解式为,TSS=ESS+RSS,(2) 拟合优度（样本决定系数，可决系数）,(3) 拟合优度（样本决定系数）的计算,(4) 拟合优度的特性,拟合优度给出了解释变量的改变导致被解释变量改变的程度(百分比),R2 越大，拟合
2、的越好。但在多元回归回归模型中，拟合优度有这样的特点：如果模型增加一个新的解释变量，TSS不会改变，但是ESS将会增加，即R2随着解释变量个数的增加而变大。,详细证明见下页（选讲）,命题： 残差平方和RSS是解释变量个数k的减函数。因此，样本决定系数R2是解释变量个数k的增函数。,* 选讲：残差平方和RSS的特性,k元回归模型的残差平方和,证明：,增加一个解释变量，残差平方和变为,考虑RSSk和RSSk+1取得极小值的的情况。（在利用最小二乘法求参数估计值时,两者都应分别达到极小值。）,而RSSk 取到极小值相当于RSSk+1在 的条件下取极小值。,条件极值和无条件极值的关系是：条件极小值大于
3、等于无条件极小值；条件极大值小于或等于无条件极大值。,例：从全班同学中选出一个个子最矮的同学。在不包括班长的情况下挑选出最矮的身高，一定高于或等于班长参加挑选时最矮的身高。后者是条件极小值。,因为新增加的解释变量即使和被解释变量不相关，解释变量的增加也可以导致残差的减小，从而导致拟合优度的增大，这显然不合理。必须对拟合优度加以调整。,拟合优度的特性会给人一种错觉：,要使模型模拟的好，只要增加解释变量即可！,但是现实情况是：在多元线性回归中，由增加变量 个数引起的拟合优度增大与拟合的好坏没有直接关系。,A) 拟合优度(可决系数)的调整思路,拟合优度中的残差平方和RSS随着解释变量个数的增加而减少
4、,可以将该式除以一个随变量个数增加而减少的因子,这样可以抵消单纯由变量个数增加导致的RSS的减少的影响。,调整的拟合优度,总变差TSS并不随解释变量个数的增加而改变，但考虑拟合优度取值的幅度和相对性，将TSS除以不随解释变量个数变化的自己的自由度n-1。,RSS的自由度n-k-1可以胜任这一角色。,B)调整后的拟合优度(样本决定系数),一增一减，此消彼长,说明：,解释变量的增加，可能导致样本回归方程与样本观察值拟合程度虚假的提高，调整的拟合优度，是剔除由于解释变量个数增加导致拟合优度数值虚假提高，而拟合程度并没有实际提高的情况。,（5）对调整后拟合优度的补充说明：,当增加一个对被解释变量有较大
5、影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。,如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量，残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量，可以将其剔除。,由此可见，修正的拟合优度 比一般意义的拟合优度 更准确的反映了解释变量对被解释变量的影响程度。因此在一般情况下修正拟合优度 比 应用更广。,解释变量的增加，有可能导致样本回归方程与样本观察值拟合程度的提高，也会由于变量的个数的增加导致拟合优度虚假的提高。 调整后的拟合优度，是剔除由于解释变量个数增加导致拟合数值虚假提高
6、，而拟合程度并没有实际提高的部分。,(6) 修正的拟合优度总结,*赤池信息准则和施瓦茨准则,为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:,施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）,这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。,赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC）,数据采用19782000年23年的人均国内生产总值X和人均消费支出Y的时间序列数据，且都转换成1990年的不变价，且剔除了物价上涨因素的影响。,举例说明：拟合优度、修正拟合优度、与增加解释变量之间的关系。,
7、在第二章第四节讲义中，我们考察中国居民收入 与消费支出的关系，建立了以人均国内生产总值 为解释变量X，以人均消费支出为被解释变量Y的一元线性回归模型。,使用的数据,人们的消费具有一定的惯性，有些耐用品和固定资产可以连续使用一年以上。所以，今年的消费和今年的人均国内生产总值有关，也和去年已经发生了的消费支出有关，这里建立消费支出模型为：,其中t为当前期变量，t-k称为k期滞后变量。,1) 使用软件估计模型,将之前已经建立的Workfile文件打开 点击菜单中的“Quick”“Estimate Equations” 在对话框中输入： y c x y(-1) y c x y(-1) y(-2) 字母
8、之间用空格分隔。,注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。,使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值，例如：,2) 模型的估计表达式,一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测的绝对误差分别是23.5、14.8。,3) 三个模型的拟合优度与残差,从上式可以看出：随着自变量的个数增加，残差明显的减少，残差平方和越小，拟合程度越大。,其中拟合程度的增大有解释变量对被解释变量 有效部分，也
9、有变量个数增加导致虚假提高的部分。,二元回归相对于一元回归，拟合优度增加了0.0027，修正的拟合优度增加了0.0025，二者的差0.0002即为由于增加解释个数变量导致的拟合程度虚假提高的数值。 三元回归相对于二元回归，拟合优度增加了0.0003，修正的拟合优度增加是0.000015，二者的差0.000285,即为由于增加解释变量个数导致。,4) 拟合优度与修正拟合优度的比较,由于增加的变量y(-2)导致的修正拟合优度增加的值很小，甚至可以忽略，表明该变量和Y不相关，可以将其从模型中剔除.,回归方程的显著性检验,方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著
10、成立作出推断。,多元回归，我们关心被解释变量是不是和一组解释变量存在线性关系。如果总体回归模型解释变量的系数同时为0，表明被解释变量与解释变量之间不存在线性关系。,所有解释变量的系数 是否同时为0的显著性检验。如果不同时为0，则被解释变量与这组解释变量之间存在线性关系；反之则被解释变量与这组解释变量之间不存在线性关系。,即对多元线性回归模型,方程的显著性检验的原假设是所有解释变量的系数同时为0，即：b1= b2= = bk= 0。只要存在一个不为0的bj 就表明模型的线性关系是显著的。,类似于一元线性回归模型的方程显著性检验,F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS,此
11、处也用F检验法检验回归方程的显著性,如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。,因此,可通过该比值的大小对总体线性关系 进行推断。,以下为具体的假设检验过程,第三步：做出判断,第一步: 提出假设,第二步：构造F统计量,回归系数的显著性检验,回归方程显著成立，并不意味着每个解释变量对被解释变量都是重要的，每个解释变量对于被解释的影响有大有小，各不相同。如果某个解释变量Xi对Y影响不重要，可以考虑将其从模型中剔除，重新建立更简洁有效的模型。变量多意味着增加建模难度及成本，剔除对被解释变量影响不显著的解释变量，具有重要的意义。,如果某变量对
12、Y的影响不重要，需要将其剔除，此时，可以认为其前面的系数bi=0。,系数的显著性检验，就是对各个变量的系数bk是否显著 的不等于0分别进行检验，具体步骤如下:,(1) 提出假设,原假设 H0： 备择假设 H1：,参数估计量的方差-协方差矩阵,(2) 构造统计量,设矩阵 主对角线上的元素为cjj，则参数 的方差为,且由样本回归方程参数的无偏性知,(3) 做出判断,参数及回归方程显著性检验的例题，可以参考本节中的二元及三元线性回归模型进行说明。,附：Eviews回归分析结果如下,利用回归方程进行预测,所谓预测，就是给定解释变量某一个特定值 利用回归方程对Y的值进行估计。同一元的相同，预测方法是点预
13、测和区间预测。,（1）点预测,注：利用回归方程进行点预计，所得的预测值与真值的误差可能会比较大。这是因为，一方面回归方程的系数是有样本求的，自然会有抽样误差；另一方面，在进行上述预测时，使模型中的随机项取得了它的均值0，但实际上可能不是0。因此有必要考虑区间预测。,（2）区间预测（对个别值Y0的预测）,类似构造参数的区间估计一样，构造对Y的预测置信区间。,(证明略),（1）构造t统计量,（2）确定临界值,多元线性回归分析实例,（1）从宏观经济看，经济整体增长是税收增长的基本源泉。 （2）公共财政的需求，税收收入是财政收入的主体，社会经济的发展和社会保障的完善等都对公共财政提出要求，因此对预算支
14、出所表现的公共财政的需求对当年的税收收入可能会有一定的影响,问题：研究影响中国税收收入增长的主要原因，分析 中央和地方税收收入的增长规律，预测中国税收未来 的增长趋势。,影响税收收入增长的因素很多，其主要因素可能有：,（3）物价水平。我国的税制结构以流转税为主，以现行价格计算的GDP等指标和经营者的收入水平都与物价水平有关。,(4）税收政策因素。由于财税体制的改革难以量化，而且1985年以后财税体制改革对税收增长影响不是很大，可暂不考虑税制改革对税收增长的影响。,设定的多元线性回归模型为：,选择包括中央和地方税收的“国家财政收入”中的“税收 收入”作为被解释变量，以反映国家税收的增长；选择 “
15、国内生产总值（GDP）”作为经济整体增长水平的代 表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的 代表；选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表。,所以解释变量设定为可观测的“国内生产总值”、 “财政支出”、“商品零售物价指数”等变量。,经过Eviews运行后，显示如下结果,结果解释：,模型估计结果说明，在假定其它变量不变的情况下，当年GDP每增长1亿元，税收收入就会增 0.02207亿元；在假定其它变量不变的情况下，当年财政支出每增长1亿元，税收收入会增长0.7021亿元；在假定其它变量不变的情况下，当年零售商品物价指数上涨一个百分点，税收收入就会增长23.9854亿元。,（1）经济意义
16、解释,（2）统计检验解释,(1)拟合优度：由结果数据可以看到： 修正的可决系数为 这说明模型对样本的拟合很好。,(2)F检验：针对原假设 ,给定显著性水平 。由结果数据中中得到 ， F统计量的伴随概率为P=00.05，所以应拒绝原假设 ，说明回归方程显著。,即:“国内生产总值”、“财政支出”、“商品零售物价指数” 等变量联合起来确实对“税收收入”有显著影响。,由运行结果数据可知,它们的绝对值都大于2.08，所以均应拒绝原假设,也就是说，当在其它解释变量不变的情况下，解释变量“国内生产总值”、“财政支出”、“商品零售物价指数”分别对被解释变量“税收收入”都有显著的影响。,(3)T检验,附：关于拟合优度检验与方程显著性检验关系,可推出：,或,时,同向变化：,因此F检验是所估计回归的总显著性的一个度量，也是修正拟合优度的一个度量，亦即：,易 见：,
