《工程问题、牛吃草问题、水管问题(公务员行测数学运算专项练习)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程问题、牛吃草问题、水管问题(公务员行测数学运算专项练习)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作效率时间=工作总量在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”.举一个简单例子.：一件工作，甲做 15 天可完成，乙做 10 天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到工作量工作效率=工作时间1（1/15+1/10）=6（天）答：两人合作需要 6 天.这是工程问
2、题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算） ，如第三讲例 3 和例 8 所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10 与 15 的最小公倍数是 30。设全部工作量为 30 份，那么甲每天完成 2 份，乙每天完成 3 份，两人合作所需天数是 :30（2+ 3）= 6（天）如果用数计算，更方便.3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是 1015=23一：基本数量关系1.工效时间=工作总量 2.工作效率=工作总量工作时间 3.工作时间=工作总量工作效率二：基本特点设工作总量为“1” ，工效=1/时间三：基本方
3、法算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想分做合想、合做分想。五：类型与方法一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。二：等量代换：方程组的解法代入法，加减法。三：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。五：休息与周期：1.已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。2.天数：近似天数，准确天数。3.列表确定工作天数。六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。八：工效变化。九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，
4、4.假设法思想(周期)。十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。工程问题.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也可以灵活解答。因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体 1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发” ，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题标题上说的“两个人” ，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例 1 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成。现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解一：把这件工作看作 1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做 3 天完成的
5、 1/3。乙每天可完成这件工作的六分之一， （1-1/3）1/6=4（天）答：乙需要做 4 天可完成全部工作.解二：9 与 6 的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18 份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3 份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 3） 3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3 天，相当于乙做了 2 天.乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天）.例 2 一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了 6 天后，原来，甲做 24 天，
6、乙做 24 天，现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16）天.这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的（倍）甲做 6 天相当于乙做（天） ，如果乙独做，所需时间是 6+4+40=50 天。如果甲独做，所需时间是天答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天.例 3 某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需 48 天完成。现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=
7、15（天） ，乙要多做 48-28=20（天） ，由此得出甲的工作效率是乙工作效率的（倍）.甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21（天） ，相当于乙要做（天）因此，乙还要做28+28= 56（天）.答：乙还需要做 56 天。例 4 一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了 11 天.解二：设全部
8、工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份.在甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天之后，还需两队合作（30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）.解三：甲队做 1 天相当于乙队做 3 天.在甲队单独做 8 天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做 23=6（天）.乙队单独做 2 天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中 3 天可由甲队 1 天完成，因此两队只需再合作 1 天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.)甲队每天工作量为 1/10，乙为 1/30，因为甲休息了 2 天，而乙休息
9、了8 天，因为 82，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这 6 天内甲独自完成了这项工程的 1/106=6/10，剩下的工作量为 1-6/10=4/10，而这剩下的 4/10 为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的 4/10 需要甲乙合作：(4/10)(1/10+1/30)=3 天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）例 5 一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？解一：如果 16 天两队都不休息
10、，可以完成的工作量是 （120）16+（130）16=4/3由于两队休息期间未做的工作量是 4/3-1=1/3乙队休息期间未做的工作量是 1/3-1/203=11/60乙队休息的天数是 11/60(1/30)=11/2答：乙队休息了 5 天半.解二：设全部工作量为 60 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）16- 60= 20（份）.因此乙休息天数是（20- 3 3） 2= 5.5（天）.解三：甲队做 2 天，相当于乙队做 3 天.甲队休息 3 天，相当于乙队休息 4.5 天.如果甲队 16 天都不休息，只余下甲队 4 天工作量，相当于乙队 6 天工
11、作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李单独完成甲工作要 8 天，单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为 60 份（15 与 20 的最小公倍数） ，张每天完成 4 份，李每天完成 3 份.8 天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要（60-48）（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少
12、需要 12 天.例 7 一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天，如果两人合作，他要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为 30 份，甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两人合作，共完成3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在 8 天内完成，所以两人合作的天数是（30-38）（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙 6 小
13、时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作 6 小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要 33 小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是， “整数化”并不能使所有工程问题的计算简便. 例 8 就是如此.例 8 也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有 3 个人，当然多人问题要比 2 人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例 9 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成.问甲一人独做
14、需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要 90 天完成.例 9 也可以整数化，设全部工作量为 180 份，甲、乙合作每天完成 5份，乙、丙合作每天完成 4 份，甲、丙合作每天完成 3 份.请试一试，计算是否会方便些？例 10 一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 32=6
15、（天）.说明甲做了 2 天，乙做了 23=6（天） ，丙做 26=12(天） ，三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了 20 天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数 72.可设全部工作量为 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.总共用了例 11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成.如果丙休息 2天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙两人合作 1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2（倍） ，甲、乙合作 1 天，与乙做 4
16、天一样.也就是甲做1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3 倍.他们共同做 13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要 26 天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 321，就知甲做 1 天，相当于乙、丙合作 1 天.三人合作需 13 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做 13 天来完成.例 12 某项工作，甲组 3 人 8 天能完成工作，乙组 4 人 7 天也能完成工作.问甲组 2 人和乙组 7 人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是 1.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组 2 人和乙组 7 人每天能完成答：合作 3 天能完成这项工作.解二：甲组 3 人 8 天能完成，因此 2 人 12 天能完成；乙组 4 人 7 天能完成，因此 7 人 4 天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做 12 天，乙组独做 4 天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解
