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1、2005 年考研数学一真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分。答案写在题中横线上）(1)曲线的斜渐近线方程为 。 =2 2 + 1【答案】 =1 2 1 4【解析】 = lim = 2 (2 + 1)=1 2 = lim ( ) = (2 2 + 11 2)= 2(2 + 1)=1 4所以斜渐近线方程为。 =12 14综上所述，本题正确答案是。 =12 14【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程满足的解为 。+ 2 = (1) =19【答案】 =13 19【解析】原方程等价于+ 2= 所以通解为 = 2 2 + =122 + =13
2、 19 + 12将代入可得(1) =19 = 0综上所述，本题正确答案是。 =1 3 1 9【考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则(,) = 1 +2 6+2 12+2 18 =131,1,1。? |(1,2,3)=【答案】 33。【解析】因为 x=3,=6,=9所以?|(1,2,3)=1313+1313+1313=33综上所述，本题正确答案是。33【考点】高等数学多元函数微分学方向导数和梯度(4)设 是由锥面与半球面围成的空间 =2+ 2 =2 2 2区域， 是 的整个边界的外侧，则。 + + =【答案】。2(1 22)3【解析】 + + =3= 3024 02
3、 0 = 2(1 22)3综上所述，本题正确答案是。2(1 22)3【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(5)设均为三维列向量，记矩阵1,2,3 =(1,2,3), = (1+ 2+ 3,1+ 22+ 43,1+ 32+ 93)如果，那么 。| = 1| =【答案】2。【解析】【方法一】| = |1+ 2+ 3,1+ 22+ 43,1+ 32+ 93|= |1+ 2+ 3,2+ 33,2+ 53|=|1+ 2+ 3,2+ 33,23|= 2|1+ 2+ 3,2+ 33,3|= 2|1+ 2+ 3,2,3|= 2|1,2,3|= 2| = 2【方法二】由于 =(1,2,3
4、)111 123 149= 111 123 149两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以| = |111 123 149|= 2| = 2综上所述，本题正确答案是 2。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数中任取一个数，记为 ，再从中任一个数，1,2,3,41,2,记为 ,则 。 = 2 =【答案】 。1348【解析】【方法一】先求出的概率分布，因为 是等可能的取，故关(,)1,2,3,4(,)于 的边缘分布必有,而 只从中 = =1 4, = 1,2,3,41,2,抽取，又是等可能抽取的概率为1,2,1 4所以 即： = , = =0, 1 4, ?
5、X Y123411 40001 42181800143112112112014411611611611614所以 = 2 =18+112+116=1348【方法二】 = 2 = 4 = 1 = = 2| = = 4 = 114 = 2| = =1 4(0 +1 2+1 3+1 4)=13 48综上所述，本题正确答案是 。1348【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 ）(7)设函数,则() = lim 1 + |3f()(A)处处可
6、导 (B)恰有一个不可导点 = 31 = 3(C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点【答案】C。【解析】由知lim 1+ 2+ + = 1 ( 0)() = lim 1 + |3= x1,|3=1,| 1 |3,| 1?由的表达式和其图像可知在处不可导，在其y = ()() = 1余点均可导。综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(8)设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要()()“条件是 ，则必有(A)是偶函数是奇函数() ()(B)是奇函数是偶函数() ()(C)是周期函数是周期函数() ()(D)是单调函数是单调函数() ()【答案】A。【解
7、析】【方法一】若是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导()函数为奇函数” ，反之，若为奇函数，则为偶函数，的任意一个原函数()0()()可表示为() = 0() + 则是偶函数，故应选 A。()【方法二】排除法：取，显然连续，() = + 1,() = + + 1(),且是偶函数，周期函数。但不是奇函数() = ()()(),也不是周期函数，排除 B 和 C 选项。(0) 0)若取,排除 D，故应选 A。() = ,() =122综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学一元函数积分学原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数(9)设函数,其中函数 具有(,) = (,)
8、+ ( ) + + ()二阶导数， 具有一阶导数，则必有(A) (B)2u2=2u22u2=2u2(C) (D)2ux=2u22ux= 2u2【答案】B。【解析】u= ( + ) + ( ) + ( + ) ( ),u= ( + ) ( ) + ( + ) + ( )2u2= ( + ) + ( ) + ( + ) ( )2u x= ( + ) ( ) + ( + ) + ( )2u2= ( + ) + ( ) + ( + ) ( )可见有2u2=2u2综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数的偏导数和全微分(10)设有三元方程,根据隐函数存在定理，存在点 + =
9、 1的一个邻域，在此邻域内该方程(0,1,1)(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 = (,)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 = (,) = (,)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 = (,) = (,)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 = (,) = (,)【答案】D。【解析】(,) = + 1则 = + , = , = + 且 (0,1,1) = 2, (0,1,1) = 1, (0,1,1) = 0由此可确定的隐函数为和 = (,) = (,)综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学多元函数微分学隐函数的求导法(11)设是矩阵 的两个不同的特征值，对应
10、的特征向量分别为1,2，则线性无关的充分必要条件是1,21, (1+ 2)(A) (B)1 0 2 0(C) (D)1= 0 2= 0【答案】B。【解析】【方法一】设11+ 2 (1+ 2)= 0即有 (1+ 21)1+ 222= 0由于特征值不同特征向量线性无关，所以线性无关，由1,2可得1+ 21= 022= 0?线性无关只有零解1, (1+ 2)1= 02= 0?(2)|11 02| 02 0【方法二】因为=(1, (1+ 2) = (1,11+ 22)(1,2)11 02那么线性无关1, (1+ 2)(1, (1+ 2)= 2由于线性无关，则1,2线性无关1, (1+ 2)11 02= 22 0综上所述，本题正确答案是 B。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系(12)设 为阶可逆矩阵，交换 的第 1 行与第 2 行得矩阵 ,( 2)分别为的伴随矩阵，则,(A)交换的第一列和第二列得(B)交换的第一行和第二行得(C)交换的第一
