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1、1 专题一、（1）提公因式法. （2）运用公式法. 例 （1）分解因式 （2） 专题二、分组分解法 在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便 于使用公式的形式，再进行因式分解。 （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：bnbmanam 例 2、分解因式：bxbyayax5102 练习：分解因式 1、 2、bcacaba 2 1yxxy （二）分组后能直接运用公式 例 3、 （1）分解因式：（2）ayaxyx 22222 2cbaba 例 4、已知 x2y3，求 的值。 专题三、配方法 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的
2、和的形式，这种方法叫配方法，配方法 分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础 上分解因式 例 5、分解因式：3444 22 yyxx 练习 5（1）分解因式：324 22 baba的结果是 （2）若25)(2 22 yxayxyx是完全平方式，则a= 专题四、十字相乘法 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即xab xabxa xb 2 () 2 把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a、b、c 都是整数，且）来说，如果存在四个整数ax
3、bxc 2 a 0 满足，并且，那么二次三项式即 acac 1122 ， ，a aac cc 1212 ，a ca cb 1221 axbxc 2 可以分解为。这里要确定四个常数，a a xa ca c xc c 12 2 122112 a xca xc 1122 acac 1122 ， ， 分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 例 6、分解因式：65 2 xx 练习 6、分解因式(1) (2) (3)2414 2 xx3615 2 aa54 2 xx 例 7、分解因式：67 2 xx 练习 7、分解因式(1) (2) (3)2 2 xx152
4、2 yy2410 2 xx 例 8、分解因式：10113 2 xx 练习 8、分解因式：（1） （2）675 2 xx273 2 xx （3） （4）31710 2 xx10116 2 yy 例 9、分解因式： 22 1288baba 练习 9、分解因式(1) (2) (3) 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 例 10、分解因式： 22 672yxyx 练习 10、分解因式：（1） （2） 22 4715yxyx86 22 axxa 例 11、分解因式：（1）（2）23 22 xyyx564 22 yxyx 3 综合练习 11、 （1） （2）178 36 xx 22
5、151112yxyx （3） （4）10)(3)( 2 yxyx344)( 2 baba （5） （6） 2222 65xyxyx26344 22 nmnmnm （7）（8）34244 22 yxyxyx 2222 )(10)(23)(5bababa （9）（10）103644 22 yyxxyx 2222 )(2)(11)(12yxyxyx 专题五、双十字相乘法 例 12、分解因式：（1）（2） 22 6136xxyyxy 2 2xyyxy (3)分解因式： 29103 22 yxyxyx 练习 12、(1) (2)6136 22 yxyxyx363556 22 bababa （3） 222
6、 27376zyzxzyxyx 专题六、先折后分 例 13、分解因式：（x3） （x1）+1 4 练习 13、(1) _ 2 (2)(3)4xxx (2)因式分解： 222222 )3(4)5() 1(aaa (3)将aaaa 2222222 16742()() 分解因式，并用分解结果计算。 专题七、用换元法分解因式 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能 使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用 例 14、 （1）分解因式 （2）分解因式（3） 2005) 12005(2005 22 xx 2
7、 )6)(3)(2)(1(xxxxx 练习 14、分解因式（1）)(4)( 22222 yxxyyxyx （2） （3）(x+1)(x2)(x+3)(x+6)+ x2； 10)33)(43( 22 xxxx 专题八、主元法： 所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成 关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构 例 15 多项式 xyzyzxyzxxzzyyx2 222222 因式分解后的结果是( ) A(yz)(x+y)(xz) B(yz)(xy)(xz) C (y+z)(x 一 y)(x+z) D(y 十 z)(
8、x+y)(x 一 z) 练习 15、因式分解 (1)a2(b 一 c)+b2(ca)+c2 (a 一 b)； (2)x2+xy2y2x+7y6 （3）) 1() 12() 12( 2223 axaaxax 5 （4） 24222 )1 ()1 (2)1 (yxyxy； 专题九、用配方法及拆项法分解因式 通过对已知式配方，将其整理成符合平方差公式或完全平方公式等形式进行因式分解，称之为配方 法，通过 拆项，进行适当组合，便于提取公因式或配方，进一步分解因式，称之为拆项法。 例 16、分解因式（1） 43 23 xx （2） （3）分解因式 3 369 xxx 练习 16、分解因式（1） （2）8
9、9 3 xx17 24 xx （3） （4） 4224 ) 1() 1() 1(xxx 224 12aaxxx （5） 444 )(yxyx 例 17、分解因式262 234 xxxx 练习 17、 （1）（2）673676 234 xxxx)(212 2234 xxxxx (3) 1232 234 xxxx 专题十：待定系数法 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利 用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一 6 般步骤是： 1根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2利用恒等式对应
10、项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组； 3解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解 例 18、如果8 23 bxaxx有两个因式 x+1 和 x+2，则 a+b( ) A7 B8 C15 D2l 练习 16、 （1）若kxxx33 23 有一个因式是 x+1，则k （2）如果 a、b 是整数，且1 2 xx是1 23 bxax的因式那么 b 的值为( ) A2 Bl C0 D2 （3）已知52 2 xx是baxx 24 的一个因式，求ba的值 （4） 已知6 2 xx是多项式12 234 babxaxxx的因式，则a 例 19、 （1）当为何值时，多项式能分解因
11、式，并分解此多项式。m65 22 ymxyx （2）如果有两个因式为和，求的值。8 23 bxaxx1x2xba 练习 19、 （1）分解因式 29103 22 yxyxyx （2）分解因式67523 22 yxyxyx （3）分解因式144 234 xxxx （4）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。pyxyxyx14632 22 p （5）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。k2532 22 yxkyxyx 例 1. 把下列各式分解因式 7 （1） （2） （3） （4） 说明：（1）一个多项式分解因式的一般步骤： 先提取公因式，再运用公式法，而且一定要分
12、解至不能再分解为止。 （2）运用公式法分解因式时，应仔细观察分析多项式的特征，只有在待分解的多项式完全符合公式 的形式时， 才能运用公式将其分解，所以，正确运用公式法分解因式应遵循如下三步： 准确理解公式，正确选择公式，灵活运用公式。 提高训练提高训练 一、选择题 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是 A. 12a2b3a4ab B.（x+3）（x3）x29 C. 4x2+8x14x（x+2）1 D. axaya（xy） 2. 分解因式4x2y+2xy2xy的结果是 A. 4（x2+2xy2xy） B. xy（4x+2y1） C. xy（4x2y+1） D. xy（4x2y） 3. 下列
13、各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 A. x2xy2 B. 1+y2 C. 2y2+2 D. x3y3 4. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是 A. 4x2+1 B. 4x24x1 C. x2+xy+y2 D. x24x+4 二、填空题 1. 24m2n+18n的公因式是 ； 2. 分解因式x（2x）+6（x2） ；= ； 3. x2- y2（x+ y） ； 4. x2- +25y2 2； 5. （x2+y2）24x2y2 ； = 三、解答题 1. 把下列各式分解因式 （1）12a3b29a2b+3ab （2）a（x+y）（ab）（x+y） （3）121x2144y2 （4）4（ab）
14、2（xy）2 （5）（x2）2+10（x2）+25 （6）a3（x+y）24a3c2 2. 用简便方法计算 （1）6.423.62 （2）210421042 （3）1.4292.3236 8 【试题答案】 一、1. D 2. C 3.B 4.D 二、1. 6n 2. （2x）（x6） ； 3. x y 4. 10xy，x5y 5.（x+y）2（xy）2；（x+1）2（x-1）2 三、1. （1）3ab（4 a2b3a+1）； （2）b（x+y）； （3）（11x+12y）（11x12y）； （4）（2a2b+xy）（2a2bx+y）； （5）（x2+5）2（x+3）2； （6）a3（x+y+2c）（x+y2c） 2. （1）28 （2）4416000 （3）
