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1、1 专题一、(1)提公因式法. (2)运用公式法. 例 (1)分解因式 (2) 专题二、分组分解法 在分解因式时,有时为了创造运用公式的条件,需要将所给多项式先进行分组结合,将之整理成便 于使用公式的形式,再进行因式分解。 (一)分组后能直接提公因式 例 1、分解因式:bnbmanam 例 2、分解因式:bxbyayax5102 练习:分解因式 1、 2、bcacaba 2 1yxxy (二)分组后能直接运用公式 例 3、 (1)分解因式:(2)ayaxyx 22222 2cbaba 例 4、已知 x2y3,求 的值。 专题三、配方法 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的
2、和的形式,这种方法叫配方法,配方法 分解因式的关键是通过拆项或添项,将原多项式配上某些需要的项,以便得到完全平方式,然后在此基础 上分解因式 例 5、分解因式:3444 22 yyxx 练习 5(1)分解因式:324 22 baba的结果是 (2)若25)(2 22 yxayxyx是完全平方式,则a= 专题四、十字相乘法 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即xab xabxa xb 2 () 2 把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。 对于二次三项(a、b、c 都是整数,且)来说,如果存在四个整数ax
3、bxc 2 a 0 满足,并且,那么二次三项式即 acac 1122 , ,a aac cc 1212 ,a ca cb 1221 axbxc 2 可以分解为。这里要确定四个常数,a a xa ca c xc c 12 2 122112 a xca xc 1122 acac 1122 , , 分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 例 6、分解因式:65 2 xx 练习 6、分解因式(1) (2) (3)2414 2 xx3615 2 aa54 2 xx 例 7、分解因式:67 2 xx 练习 7、分解因式(1) (2) (3)2 2 xx152
4、2 yy2410 2 xx 例 8、分解因式:10113 2 xx 练习 8、分解因式:(1) (2)675 2 xx273 2 xx (3) (4)31710 2 xx10116 2 yy 例 9、分解因式: 22 1288baba 练习 9、分解因式(1) (2) (3) 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 例 10、分解因式: 22 672yxyx 练习 10、分解因式:(1) (2) 22 4715yxyx86 22 axxa 例 11、分解因式:(1)(2)23 22 xyyx564 22 yxyx 3 综合练习 11、 (1) (2)178 36 xx 22
5、151112yxyx (3) (4)10)(3)( 2 yxyx344)( 2 baba (5) (6) 2222 65xyxyx26344 22 nmnmnm (7)(8)34244 22 yxyxyx 2222 )(10)(23)(5bababa (9)(10)103644 22 yyxxyx 2222 )(2)(11)(12yxyxyx 专题五、双十字相乘法 例 12、分解因式:(1)(2) 22 6136xxyyxy 2 2xyyxy (3)分解因式: 29103 22 yxyxyx 练习 12、(1) (2)6136 22 yxyxyx363556 22 bababa (3) 222
6、 27376zyzxzyxyx 专题六、先折后分 例 13、分解因式:(x3) (x1)+1 4 练习 13、(1) _ 2 (2)(3)4xxx (2)因式分解: 222222 )3(4)5() 1(aaa (3)将aaaa 2222222 16742()() 分解因式,并用分解结果计算。 专题七、用换元法分解因式 所谓换元,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能 使复杂的问题简单化、明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用 例 14、 (1)分解因式 (2)分解因式(3) 2005) 12005(2005 22 xx 2
7、 )6)(3)(2)(1(xxxxx 练习 14、分解因式(1))(4)( 22222 yxxyyxyx (2) (3)(x+1)(x2)(x+3)(x+6)+ x2; 10)33)(43( 22 xxxx 专题八、主元法: 所谓主元,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成 关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构 例 15 多项式 xyzyzxyzxxzzyyx2 222222 因式分解后的结果是( ) A(yz)(x+y)(xz) B(yz)(xy)(xz) C (y+z)(x 一 y)(x+z) D(y 十 z)(
8、x+y)(x 一 z) 练习 15、因式分解 (1)a2(b 一 c)+b2(ca)+c2 (a 一 b); (2)x2+xy2y2x+7y6 (3)) 1() 12() 12( 2223 axaaxax 5 (4) 24222 )1 ()1 (2)1 (yxyxy; 专题九、用配方法及拆项法分解因式 通过对已知式配方,将其整理成符合平方差公式或完全平方公式等形式进行因式分解,称之为配方 法,通过 拆项,进行适当组合,便于提取公因式或配方,进一步分解因式,称之为拆项法。 例 16、分解因式(1) 43 23 xx (2) (3)分解因式 3 369 xxx 练习 16、分解因式(1) (2)8
9、9 3 xx17 24 xx (3) (4) 4224 ) 1() 1() 1(xxx 224 12aaxxx (5) 444 )(yxyx 例 17、分解因式262 234 xxxx 练习 17、 (1)(2)673676 234 xxxx)(212 2234 xxxxx (3) 1232 234 xxxx 专题十:待定系数法 对所给的数学问题,根据已知条件和要求,先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数),然后利 用已知条件,确定或消去所设待定系数,使问题获解的这种方法叫待定系数法,用待定系数法解题的一 6 般步骤是: 1根据多项式次数关系,假设一个含待定系数的等式; 2利用恒等式对应
10、项系数相等的性质,列出含有待定系数的方程组; 3解方程组,求出待定系数,再代人所舌问题的结构中去,得到需求问题的解 例 18、如果8 23 bxaxx有两个因式 x+1 和 x+2,则 a+b( ) A7 B8 C15 D2l 练习 16、 (1)若kxxx33 23 有一个因式是 x+1,则k (2)如果 a、b 是整数,且1 2 xx是1 23 bxax的因式那么 b 的值为( ) A2 Bl C0 D2 (3)已知52 2 xx是baxx 24 的一个因式,求ba的值 (4) 已知6 2 xx是多项式12 234 babxaxxx的因式,则a 例 19、 (1)当为何值时,多项式能分解因
11、式,并分解此多项式。m65 22 ymxyx (2)如果有两个因式为和,求的值。8 23 bxaxx1x2xba 练习 19、 (1)分解因式 29103 22 yxyxyx (2)分解因式67523 22 yxyxyx (3)分解因式144 234 xxxx (4)已知:能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。pyxyxyx14632 22 p (5)为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。k2532 22 yxkyxyx 例 1. 把下列各式分解因式 7 (1) (2) (3) (4) 说明:(1)一个多项式分解因式的一般步骤: 先提取公因式,再运用公式法,而且一定要分
12、解至不能再分解为止。 (2)运用公式法分解因式时,应仔细观察分析多项式的特征,只有在待分解的多项式完全符合公式 的形式时, 才能运用公式将其分解,所以,正确运用公式法分解因式应遵循如下三步: 准确理解公式,正确选择公式,灵活运用公式。 提高训练提高训练 一、选择题 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是 A. 12a2b3a4ab B.(x+3)(x3)x29 C. 4x2+8x14x(x+2)1 D. axaya(xy) 2. 分解因式4x2y+2xy2xy的结果是 A. 4(x2+2xy2xy) B. xy(4x+2y1) C. xy(4x2y+1) D. xy(4x2y) 3. 下列
13、各式中,能用平方差公式进行因式分解的是 A. x2xy2 B. 1+y2 C. 2y2+2 D. x3y3 4. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是 A. 4x2+1 B. 4x24x1 C. x2+xy+y2 D. x24x+4 二、填空题 1. 24m2n+18n的公因式是 ; 2. 分解因式x(2x)+6(x2) ;= ; 3. x2- y2(x+ y) ; 4. x2- +25y2 2; 5. (x2+y2)24x2y2 ; = 三、解答题 1. 把下列各式分解因式 (1)12a3b29a2b+3ab (2)a(x+y)(ab)(x+y) (3)121x2144y2 (4)4(ab)
14、2(xy)2 (5)(x2)2+10(x2)+25 (6)a3(x+y)24a3c2 2. 用简便方法计算 (1)6.423.62 (2)210421042 (3)1.4292.3236 8 【试题答案】 一、1. D 2. C 3.B 4.D 二、1. 6n 2. (2x)(x6) ; 3. x y 4. 10xy,x5y 5.(x+y)2(xy)2;(x+1)2(x-1)2 三、1. (1)3ab(4 a2b3a+1); (2)b(x+y); (3)(11x+12y)(11x12y); (4)(2a2b+xy)(2a2bx+y); (5)(x2+5)2(x+3)2; (6)a3(x+y+2c)(x+y2c) 2. (1)28 (2)4416000 (3)