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1、1相似形三角形及应用例 1、已知正方形 ABCD 的边长是 5 厘米，EFFG，FDDG。求ECG 的面积。【说明】在相似形中，在相似形中，计计算算线线段段长长的主要方法是由的主要方法是由线线段成比例定理（如平行段成比例定理（如平行线线分分线线段成比例定理、相似段成比例定理、相似 三角形的性三角形的性质质等）列出含待求等）列出含待求线线段的比例式，再段的比例式，再设设法求出待求法求出待求线线段的段的长长。 。 例 2、已知在平行四边形 ABCD 中，M、N 为 AB 的三等分点，DM、DN 交于 AC 于 P、Q 两点。 求 AP：PQ：QC 的值。【说明】解解线线段段 a： ：b： ：c 的
2、的问题问题，可根据相关的性，可根据相关的性质质将将 a、 、b、 、c 用同一条用同一条线线段表示出来，再求几条段表示出来，再求几条线线段的段的 比。若比。若 a、 、b、 、c 正好可正好可组组成一条成一条线线段，常用段，常用这这条条线线段表示段表示这这三条三条线线段。段。例 3、正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，F 是边 AB 上一点，且 AE2EC，FB2AF。 求EDF 的度数。2例 5 如图所示ABC 中，AD 是BAC 的平分线求证：ABAC=BDDC【说明】这这个例个例题题在解决相似三角形有关在解决相似三角形有关问题问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用中，常起
3、重要作用，可当作一个定理使用类类似的似的还还有一有一 个关于三角形外角分三角形的个关于三角形外角分三角形的边边成比例的命成比例的命题题， ，这这个命个命题题将在将在练习练习中出中出现现， ，请请同学同学们们自己自己试证试证 例 6、正方形 ABCD 中，M、N 分别在 AB、BC 边上，且 BMBN，又 BPMC 于 P。求证：PDPN。【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角 相等。此种方法是证角相等的常用方法。 例 7 如图，中，于，于， 于，交于，、的延长ABCADBCDBEACEDFABFBEGFDAC线交于点，求证：.H2DFFG F
4、HGHBAFEDC3练习：1、（2013年河北）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，MEAD， NFAB. 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN = A3B4 C5 D6 2、 （2013恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ）A 1：4B 1：3C 2：3D 1：23、 （2013 聊城）如图，D 是ABC 的边 BC 上一点，已知 AB=4，AD=2DAC=B，若ABD 的面积为 a，则ACD 的面积为（ ）AaBCD4、 （2013雅安）如图，在ABC
5、D 中，E 在 AB 上，CE、BD 交于 F，若 AE：BE=4：3，且 BF=2，则DF= 5、 （2013自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延 长线于 F，BGAE 于 G，BG=，则EFC 的周长为（ ）A 11B 10C 9D 86、 （2013内江）如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDEF：SABF=4：25，则 DE：EC=（ ）4A 2：5B 2：3C 3：5D 3：27 （2012 四川内江，21，9 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 B
6、D 上的一点，BAE=BCE，AED=CED，点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F(1)求证：四边形 ABCD 是正方形；(2)当 AE=2EF 时，判断 FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论DABGCFE8. （2012 福建莆田，24,12 分） （1） （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90，BDAC 于点 D.5求证：;ACADAB2(2) (4 分)如图，在 RtABC 中，ABC=90，点 D 为 BC 边上的点，BEAD 于点 E，延长 BE 交 AC于点 F，求的值；1ABBD BCDCAF FC (3)(5 分)在 RtABC
7、中，ABC=90，点 D 为直线 BC 上的动点(点 D 不与 B、C 重合)，直线 BED于点 E，交直线 AC 于点 F.若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含的式子ABBDnBCDCAF FCn表示)，不必证明DBACEFCBAD9.（2012 湖北黄石，24， 9 分）如图（10）所示：等边ABC 中，线段 AD 为其内角角平分线，过 D 点 的直线 B1C1AC 于 C1交 AB 的延长线于 B1.请你探究：，是否都成ACCD ABDB1111ACC D ABDB立？6请你继续探究：若ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问一定成立吗？ACCD ABDB并证明你的判
8、断.如图（11）所示 RtABC 中，ACB900 ，AC8，AB，E 为 AB 上一点且 AE5，CE 交其40 3内角角平分线 AD 于 F.试求的值.DF FA10 （2012 四川攀枝花，24，12 分）如图 10 所示，在形状和大小不确定的ABC 中，BC=6，E、F 分别是AB、AC 的中点，P 在 EF 或 EF 的延长线上，BP 交 CE 于 D，Q 在 CE 上且 BQ 平分CBP，设7BP=，PE=.yx（1）当时，求的值；EFx31DBCDPESS:（2）当 CQ=CE 时，求与之间的函数关系式；21yx（3）当 CQ=CE 时，求与之间的函数关系式；当 CQ=CE（为不小于 2 的常数）时，求直31yxn1n接与之间的函数关系式；yxDFABCEPQDFABCEPQ11、 （2013苏州）如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点，连接 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E， 连接 BP 并延长交边 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G （1）求证：APBAPD； （2）已知 DF：FA=1：2，设线段 DP 的长为 x，线段 PF 的长为 y 求 y 与 x 的函数关系式；(1)(2)8当 x=6 时，求线段 FG 的长
