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1、 第一讲第一讲 因式分解因式分解一，知识梳理一，知识梳理1.1.因式分解因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：111()333axbxx ab因式分解，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整
2、式乘法的逆过程。2.2.因式分解的方法：因式分解的方法：（1 1）提公因式法：）提公因式法：定义：如果多项式的各项有公因式公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。 系数 取各项系数的最大公约数 字母 取各项都含有的字母 指数 取相同字母的最低次幂例：的公因式是 333234221286a b ca b ca b c解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、-8、6，它们的最大公约数为 2；字母部分都含有因式，故多项
3、式的公因式是33323422,a b c a b c a b c32a b c2.32a b c提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把分解因式.2233121824a baba b解析：本题的各项系数的最大公约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，故公因式为6ab。解：2233121824a baba b226(234)ababa b例 2：把多项式分解因式3(4)(4)x
4、xx解析：由于，多项式可以变形为,我4(4)xx 3(4)(4)xxx3(4)(4)xx x们可以发现多项式各项都含有公因式（）,所以我们可以提取公因式（）4x4x后,再将多项式写成积的形式.解：3(4)(4)xxx=3(4)(4)xx x=(3)(4)x x例 3：把多项式分解因式22xx解：=22xx2(2 )(2)xxx x （2 2）运用公式法）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。2222233223322.()().2().()().()()aabab abbabbabcabab aabbdabab aabb逆用平方差
5、公式：逆用完全平方公式：a逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）注意注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1：因式分解21449aa解：=21449aa2(7)a例 2：因式分解222 ()()aa bcbc解：=222 ()()aa bcbc2()abc（3 3）分组分解法（拓展）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式分解因式1abab解：=1abab()(1)abab(1)(1)(1)(1)a bbab将多项式分组后能运用
6、公式进行因式分解.例：将多项式因式分解2221aabb 解：2221aabb =222(2) 1()1(1)(1)aabbababab （4 4）十字相乘法（形如）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运形式的多项式，可以考虑运2()()()xpq xpqxp xq用此种方法）用此种方法）方法：常数项拆成两个因数方法：常数项拆成两个因数，这两数的和，这两数的和为一次项系数为一次项系数pq和pq2()xpq xpqxpxq2()()()xpq xpqxp xq例：分解因式 分解因式230xx252100xx补充点详解 补充点详解我们可以将-30 分解成 pq 的形式， 我们可以将 100 分解成
7、 pq 的形式，使 p+q=-1, pq=-30,我们就有 p=-6, 使 p+q=52, pq=100,我们就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5。 q=50 或 q=2,p=50。 所以将多项式可以分 所以将多项式可2()xpq xpq2()xpq xpq以分解为 解为()()xp xq()()xp xq52xx-650xx230xx(6)(5)xx252100xx(50)(2)xx3.3.因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括
8、为：“一提” 、“二套” 、 “三分组” 、 “四十字” 。注意注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式整式的积的形式。一、一、 例题解析例题解析提公因式法提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：确定公因式的方法：系数系数取多项式各项系数的最大公约数；字母字母( (或多项式因式或多项式因式) )取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例例 1】 分解因式：(为正整数)2121510nna abab ban(、为大于 1 的自然数)212146nmnmababmn【巩固巩固】分解因式： ，为正整数.2122()()()2() ()nnnxyxz xyyxyzn【例例 2】 先化简再求值，其中， 2y xyxyxyx2x 1 2y 【巩固巩固】求代数式的值：，其中.22(32) (21)(32)(21)(21)(23 )xxxxxxx2 3x 【例例 3】 已知：，求的值.2bca 22221()()(222 )33333a abcbcabcbca【巩固巩固】分解因式：.322()()()()()xxyzyzax z zxyx y zxy xza
