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1、第八章、勾股定理2 一、知识精读2 (一）、 勾股定理2 （二）. 勾股定理的应用.2 （三）. 勾股定理的证法.2 （四）.勾股定理的应用.3 （五）.勾股数.3 （六） 勾股定理的历史背景4 二、中考考点分析4 三、经典例题分类精讲6 题型一：直接考查勾股定理6 题型二：利用勾股定理测量长度6 题型三：勾股定理和逆定理并用7 题型四：利用勾股定理求线段长度7 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直8 题型六：旋转问题：8 题型七：关于翻折问题9 题型八：关于勾股定理在实际中的应用：9 题型九：关于最短性问题9 四、常见错解剖析10 （一）、勾股定理只能在直角三角形中运用10 （二）、运用勾股定
2、理时要分清斜边和直角边10 （三）、给定三角形要分形状运用勾股定理10 （四）、不能正确区分直角边和斜边11 （六）、不能仅凭模糊记忆11 （七）、考虑不全造成漏解12 五、发散思维点拨13 （一）、方程思想13 （四）、勾股定理是直角三角形的一个重要性质15 六、基础练习16 七、勾股定理的逆定理达标练习18 八、培优辅导19 （一）、例题解析19 （二）、拓展练习27 本章参考答案29第八章、勾股定理第八章、勾股定理一、知识一、知识精读精读(一）、一）、 勾股定理勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222ab
3、c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角 三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明 了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方（二）（二）. 勾股定理的应用勾股定理的应用.勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或 直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前
4、提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设 法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解（三）（三）. 勾股定理的证法勾股定理的证法. 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABC D，2214()2abbac ，化简可证cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形
5、面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三：1() ()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证（四）（四）.勾股定理的应用勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题（五）（五）.勾股数勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的
6、勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,n n为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）（六）（六） 勾股定理的历史背景勾股定理的历史背景.我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于周髀算经中在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.（七）（七）. 与直角三角形有关的问题与直角三角形有关的问题.（1） 直角三角形的定义.（2） 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一
7、个锐角等于 30，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.（八）、中考视点勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：（）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边（）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式（）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点 勾股定理的逆定理知识概要勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形（1. ）勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形（ .
8、）如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题（.） 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理二、中考考点分析二、中考考点分析勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状 教材解读一、勾股定理的内容勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是 a、b，斜边是 c，那么 a2+b2c2.因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平
9、方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.二、正确判定一个三角形是否是直角三角形如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形.这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边 c；二是验证 c2与 a2+b2是否相等.若c2a2+b2，则ABC 是直角三角形，且C90；若 c2a2+b2，则ABC 不是直角三角形. 三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用勾股定理有着广泛的应用.如求
10、线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为的线段，如下左图所示用同样的方法我们可以在数轴上画出表示的点，如下右图所示.四、勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 abc，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为 a、b、c，边长之间满足关系 abc，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？下面是组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，（）a，b，c；（）a，b，c；（）a，b，c我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现
11、，上面三个三角形的边长都满足关系 abc，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：如果一个三角形的三边长 a、b、c 满足 abc，那么这个三角形是直角三角形我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明【例题】 已知的三边a、b、c 且满足条件 abc，试判断是否为直角三角形【思考与分析】 根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以 a、b 为直角边，那么它的斜边 c 必满足 ca+b，那么这个直角三角形的三边就与的三边分别对
12、应相等，所以说如果是直角三角形，那么它必与以 a、b 为直角边的直角三角形全等解：我们作t，b，a根据勾股定理：ab又 的三边 a、b、c 满足条件 a+bc， c又在中a、b、c， t（） 是直角三角形，【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明. 中考考点指导 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结
13、论三、三、经典例题分类精讲经典例题分类精讲题型一：直接考查勾股定理题型一：直接考查勾股定理例.在中，ABC90C已知，求的长6AC 8BC AB 已知，求的长分析：直接应用勾股定理17AB 15AC BC222abc解：2210ABACBC228BCABAC题型二：利用勾股定理测量长度题型二：利用勾股定理测量长度例题例题 1 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC2+BC2
14、=AB2, 即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.例题例题 2 2 如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.解析：解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知ACD 中,ACD=90,在 RtACD 中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：CBDA解：解：如图 2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=
15、AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得 x=2.故水深为 2 米.题型三：勾股定理和逆定理并用题型三：勾股定理和逆定理并用例题例题 3 3 如图 3，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的中点，F 是 AB 上一点，且那么DEF 是直角三角形吗？为什么？ABFB41解析：解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设 AB=4a，那么 BEABFB41=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAFD 、RtBEF 和 RtCDE 中，分别利用勾股定理求出 DF,EF 和 DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF 是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：解：设正方形 ABCD 的边长为 4a,则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCDE 中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2在DEF 中，EF2+ DE2=5a2+ 2
