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1、分段函数分段函数常见题型例析常见题型例析河南 陈长松 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数 不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题 时常出现错误现就分段函数的常见题型例析如下：求分段函数的定求分段函数的定义义域、域、值值域域例例求函数 的值域)(xf )2( ,2)2( ,42xxxxx解解：当时， x4)2(422xxxyy当时， xy2xy22 函数的值域是，或 )(xfyyyyy评注：评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值 域是各段函数值集合的并集作分段函数的作分段函数的图图
2、象象例例 已知函数，画函数的图象.2(2) ( )3 2 2) 32)x f xxx x ， ， ，( )f x解：函数图象如图所示 评注评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出 其图象作图时，一要注意每段自变量的取值范围； 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实求分段函数的函数求分段函数的函数值值例例已知 求的值)(xf )0.(0)0( ,)0( , 1xxxx( ( ( 3)fff 解解： （）， f （） ）（）fff又 （）( ( ( 3)f f f fOxy32122图 1评注评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义
3、域中所在的范围，然后按相 应的对应关系求值求分段函数的最求分段函数的最值值例例已知函数 求出这个函数的最值)(xf22 (0)(0)xxx，解：解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由 两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是 一条射线，如图所示因此易得，函数最小值为， 没有最大值表达式表达式问题问题例例 如图，动点从边长为的正方形的顶点出发顺次经过PABCDA再回到，设表示点的行程，表示的长度，求关于的表达式BCD，AxPyPAyx解：如图 3 所示，当点在上运动时，；PABPAx当点在上运动时，由，求得；PBCPBAR t21 (1)PAx当点在上运动时，由求出；PCDPDAR t 21 (3)PAx当点在上运动时，PDA4PAx所以关于的表达式是yx2201221261023 434.xxxxxy xxx xx ， ， ， ， ， 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的 各段合并成一个整体，必须用符号“”来表示，以纠正 同学们的错误认识ABCDP图
