泰勒展开式

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1、函数的幂级数展开式通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：问题问题 1 1：函数 f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题问题 2 2：如果 f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数 cn(n=0,1,2,3,)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定 f(x)在 a 的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中 a 是事先给定某一常数，我们来看看系数 cn与 f(x)应有怎样的关系。由于 f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在 x=a 的邻

2、区内 f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：，在 f(x)幂级数式及其各阶导数中，令 x=a 分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为 f(x)在 x+a 处的泰勒级数泰勒级数.关于泰勒级数的问题关于泰勒级数的问题上式是在 f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要 f(x)在 x=a 处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。问题：问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于 f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于 f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随 n而趋向于零.如果在某一区间 I 中有那末 f(x)在 x=a处的泰勒级数将在区间 I 中

3、收敛于 f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数 f(x)在区间 I 中的泰勒展开式泰勒展开式.泰勒定理泰勒定理设函数 f(x)在 x=a 的邻区内 n+1 阶可导，则对于位于此邻区内的任一 x，至少存在一点 c,c在 a 与 x 之间，使得：此公式也被称为泰勒公式泰勒公式。(在此不加以证明）在泰勒公式中，取 a=0，此时泰勒公式变成：其中 c 在 0 与 x 之间, 此式子被称为麦克劳林公式麦克劳林公式。函数 f(x)在 x=0 的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数 ex 2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开