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1、第一套第一套 正弦定理（一）正弦定理（一）作业导航作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角 的三角形问题一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分)1已知ABC 中，a4，b43，A30，则B 等于( )A30 B30或 150C60 D60或 1202已知ABC 中，AB6，A30，B120，则ABC 的面积为( )A9 B18C93 D1833已知ABC 中，abc132，则 ABC 等于( )A123 B231C132 D3124已知ABC 中，sinAsinBsinCk(k1)2k(k0)，则 k
2、的取值范 围为( )A(2，) B(-，0)C(-21 ，0) D(21 ，)5在ABC 中，sinAsinB 是 AB 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分)1在ABC 中，若B30，AB23，AC2，则ABC 的面积是 _2在ABC 中，若 b2csinB，则C_3设ABC 的外接圆半径为 R，且已知 AB4，C45，则 R_4已知ABC 的面积为23 ，且 b2，c3，则A_5在ABC 中，B45，C60，a2(31)，那么ABC 的面积 为_三、解答题三
3、、解答题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分分)1在ABC 中，C60，BCa，ACb，ab16(1)试写出ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式(2)当 a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值2在ABC 中，已知 a2-a2(bc)，a2b2c-3，若 sinCsinA413，求 a，b，c3在ABC 中，求证2tan2tanBABAbaba 4ABC 中，A、B、C 成等差数列，b1，求证：1ac25在一个三角形中，若有一个内角不小于 120，求证：最长边与最短边之比不小于3参考答案参考答案一、选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分
4、，共 15 分)1D 分析：由正弦定理得，Bb Aa sinsin， sinB23sinaAb ， B60或B1202C 分析： A30，B120， C30， BABC6， SABC21 BABCsinB21 6623 933A 分析：由正弦定理得，Cc Bb Aa sinsinsin， sinAsinBsinC13221 23 1， ABC3060901234D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边5C 分析：ABab2RsinA2RsinBsinAsinB二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分)123或3 分析：sinC2
5、3 230sin32 ，于是，C60或 120，故A90或 30，由 SABC21 ABACsinA，可得 SABC23或 SABC3230或 150分析：由 b2csinB 及正弦定理Cc BBc Cc Bb sinsinsin2 sinsin得， sinC21 ， C30或 150322 分析： c2RsinC， R22sin2Cc 460或 120 分析： SABC21 bcsinA， 23 21 23sinA， sinA23 ， A60或 1205623 分析： Bb Aa sinsin， 45sin)6045180sin() 13(2b， b4 SABC21 absinC623三、解
6、答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)1解：(1) ab16， b16-aS21 absinC21 a(16-a)sin6043 (16a-a2)-43 (a-8)2163（0a16)(2)由(1)知，当 a8 时，S 有最大值 1632解： sinCsinA413 ca413设 c4k，a13k，则38213)4(213132kbkkbkk由、消去 2b，得13k2-16k30 解得 k133 或 k1， k133 时 b0，故舍去 k1，此时 a13，b2135 ，c43证明：由正弦定理，知a2RsinA，b2RsinB2tan2tan2cos2sin22cos2sin2
7、)22sin()22sin()22sin()22sin(sinsinsinsin sin2sin2sin2sin2BABABABABABABABABABABABABABABABA BRARBRAR baba4证明： A、B、C 成等差数列， 2BAC，又 ABC， B3 ，AC32 b1，设ABC 的外接圆半径为 R， b2Rsin3 12R23 ， 3R1 ac2RsinA2RsinC2R(sinAsinC)2Rsin(32 -C)sinC2R(23 cosC23 sinC)23R(21 cosC23 sinC)23Rsin(C6 )2sin(C6 ) AC32 ， 0C32 6 C6 65
8、 21 sin(C6 )1 12sin(C6 )2 1ac25证明：在ABC 中，设 C120，则 c 最长，令最短边为 a，由正弦定 理得ABA AC ac sin)sin( sinsin AB 2AAB180-C60 正弦函数在(0，3 )上是增函数， sin(AB)sin2A0 ABA ac sin)sin(AAA AA sincossin2 sin2sin2cosA ac 2cosA 2A60 0A30 cosAcos3023 ac 223 ac 3 最长边与最短边之比不小于第二套第二套正弦定理练习（二）正弦定理练习（二）1在 中，已知角 则角 A 的值是（ ）ABC04 345 ,2
9、 2,3BcbA15 B75 C105 D75或 152 中，bsinABsinAsinBA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件6在 中， ，则 A= ABC060 ,7 6,14Bba7在 中，已知ABCABCcos2cos21 sin2sincos,cossinBCABCCB 求证：b=c 且 A=900 。8，已知 ABC 中，2B=A+C，且 ABC，又 tanA 和 tanC 为方程 的两个根，且，求 ABC 的三个角和三条边。2323(1)xxx33ABCS答案与详解：1 D， 正弦定理将A=750或 150 0060120sinsinbcCBC或2
10、 B，见研析 1。3 C， 由正弦定理及已知条件对比发现 sinB=cosB,sinC=cosC,故 B=C=450，A=900 。 4 D ， 由已知 A=750 ，再由正弦定理易求 AB 的长，在 RTABD 中 AD=ABsin600 可得。5C ， 在 ABC 中，。 2 sin2 sinsinsinABabRARBAB645，由正弦定理得 sinA=, A=450 或 1350，又 B=600，故 A=450。 2 27证明：cos2B+cos2C=1+cos2A,cos2B+cos2C-2=cos2A-1,sin2B+sin2C=sin2A,即 b2+c2=a2ABC 为 Rt 且
11、 A=900，又 sinA=2sinBcosC,cosC=sinB,2sin2B=1,sinB=,2 2B=450, C=450, b=c,且 A=900.8， 2B=A+CB=600tanA 和 tanC 为方程的两个根2323(1)xxxtanA=1，tanC=2+,所以 A=450，C=750.3因为，所以,即(1).33ABCS1sin332abB 4( 31)ac 由正弦定理所以.(2)sinsinac AC( 31)ac联立(1) (2) 4( 31)( 31)acac解得: 再由正弦定理得:.2( 31) 2a csin3 26sinaBbA第三套第三套 正弦定理、余弦定理正弦定
12、理、余弦定理作业导航作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分)1在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )Ab7，c3，C30Bb5，c42，B45Ca6，b63，B60Da20，b30，A302在ABC 中，AB5，BC7，AC8，则BCAB的值为( )A79 B69C5 D-53在ABC 中，A60，b1，其面积为3，则CBAcba sinsinsin 等于 ( )A33 B3392C338D2394在ABC 中，已知 ax cm，b2 cm，B45，如果利用正弦定理解 三角形有两解，则 x 的取值范围是( )A2x22 B2x22Cx2 Dx25已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x 的取值范围是( )A135 xB13x5C2x5 D5x5二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15
