小学奥数之排列组合问题.

《小学奥数之排列组合问题.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数之排列组合问题.（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第 1 页计 数 问 题教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：例题精讲：一、排 列 组 合 的 应 用【例例 1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件

2、下有多少种站法？小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排；）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间）七个人排成一排，小新必须站在中间. . （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. . （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. . （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. . （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人）七个人战成两排，前排三人，后排四人. . （7）七个人战成两排

3、，前排三人，后排四人）七个人战成两排，前排三人，后排四人. . 小新、阿呆不在同一排。小新、阿呆不在同一排。 【解析】（1）（种） 。7 75040P （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置（种）.6 6720P （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置2=1440(种)6 6P（4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 (种)5 52240P（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人，（种）.25 552400PP（6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位

4、置还是各不相同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排列（种）.7 75040P （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后” ，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2 即可432=2880(种)排队问题，一般先考虑特5 5P殊情况再去全排列。【例例 2】用用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？的三位数？ 【解析解析】个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，根据排列数公525n 2m 式，一共可以组成(个)符合题意的三位数。2 55420P 【巩固巩固】 用

5、用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是大且百位数字不是 的无重复数字的五位数？的无重复数字的五位数？200003 【解析】可以分两类来看： 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有(种)放法，对应 24 个不同的五位数；4 4432 124P 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可以第 2 页选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上，有种选择由乘法原理，3 36P 可以组成(个)不同的五位数。3

6、 3 654 由加法原理，可以组成(个)不同的五位数。245478【巩固巩固】 用用 0 到到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是是 第几个数？第几个数？ 【解析解析】从高位到低位逐层分类： 千位上排 ， 或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千位已确定的数字123440 9之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中取 个的排列问题，所以百、十、个位993可有(种)排列方式由乘法原理，有(个)3 99 87504P 45042016 千位上排，百位上排

7、时，千位有 种选择，百位有种选择，十、个位可以从剩下的八个数50 415字中选择也就是从 个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理，有822 88756P (个)1 5 56280 千位上排，百位上排，十位上排， ， ，时，个位也从剩下的七个数字中选择，56012347有(个)1 1 6742 千位上排，百位上排，十位上排 时，比小的数的个位可以选择， ， ，共568568701234个5综上所述，比小的四位数有(个)，故比小是第个四位数56872016280425234356872344【例例 3】用用 、 、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多

8、少个 3 的倍数？的倍数？12345 【解析】按位数来分类考虑： 一位数只有 个 ；13 两位数：由 与， 与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的121524452 22 12P 两位数，共可组成(个)不同的两位数；248 三位数：由 ，与 ； ， 与；， 与； ，与四组数字组成，每一组可以组成123135234345 (个)不同的三位数，共可组成(个)不同的三位数；3 332 16P 6424 四位数：可由 ，这四个数字组成，有(个)不同的四位数；12454 4432 124P 五位数：可由 ， ，组成，共有(个)不同的五位数123455 55432 1120P 由加法原理，一共

9、有(个)能被 整除的数，即 的倍数18242412017733【巩固巩固】 用用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析解析】由于组成偶数，个位上的数应从，中选一张，有 种选法；十位和百位上的数可以从剩下的2463张中选二张，有(种)选法由乘法原理，一共可以组成(个)不同的偶数52 55420P 32060【例例 4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是数码组成，且四

10、个数码之和是，那，那09 么确保打开保险柜至少要试几次？么确保打开保险柜至少要试几次？ 【解析】四个非数码之和等于 9 的组合有0 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3 六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，664 其余位置放 ，共有种选择；14 第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有 种选择，剩下的位置放 ，共有24531 (种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择最后一种，与第一种的情431212 形相似， 的位置有种选择，其余位置放，共有种选择3424

11、 综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能打开412121212456 保险柜至少要试次56 【例例 5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，( (同一位置上坐不同一位置上坐不 同的人算不同的坐法同的人算不同的坐法) )，那么共有多少种不同的坐法？，那么共有多少种不同的坐法？ 【解析】第一个位置在个人中任选一个，有(种)选法，第二个位置在另一胞胎的 人中任选一个，有61 66C 3第 3 页(种)选法同理，第 ，个位置依次有， ， 种选法由乘法原理，不同的坐1 33

12、C 34562211法有(种)。111111 6322116322 1 172PPPPPP 【例例 6】一种电子表在一种电子表在 6 时时 24 分分 30 秒时的显示为秒时的显示为 6: :24：30，那么从，那么从 8 时到时到 9 时这段时间里，此表的时这段时间里，此表的 5 个数个数 字都不相同的时刻一共有多少个字都不相同的时刻一共有多少个? ? 【解析】设 A:BC是满足题意的时刻，有 A 为 8，B、D 应从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中选择两个不同DE的数字，所以有种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，2 6P2 7P所以共有=

13、1260 种选法。2 6P2 7P从 8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有 1260 个。【例例 7】一个六位数能被一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的 6 个数字重新排列，最个数字重新排列，最 少还能排出多少个能被少还能排出多少个能被 11 整除的六位数整除的六位数? ?【解析】设这个六位数为，则有、的差为 0 或 11 的倍数且 a、b、c、d、e、fabcdef()ace ()bdf 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数。先考虑 a、c、e 偶数位内，b、d、f 奇数位

14、内的组内交换，有=36 种顺序；3 3P3 3P再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有=36 种顺序。badcfe3 3P3 3P所以，用均不为 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+36=72 个能被 11 整除的数(包含原来的)。abcdef所以最少还能排出 72-1=71 个能被 11 整除的六位数。【例例 8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、 乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，

15、你和乙都未拿到冠军很遗憾，你和乙都未拿到冠军 ”对乙说：对乙说：“你当然不你当然不 会是最差的会是最差的 ”从这个回答分析，从这个回答分析，5 人的名次排列共有多少种不同的情况？人的名次排列共有多少种不同的情况？ 【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军” ，而且“乙不是最差的” ，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的5排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有 种排法，再排甲，也有 种排法，剩下的人随意排，有33(种)排法由乘法原理，一共有(种)不同的排法。3 332 16P 3 3 654 【例例 9】名男生，名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：45 甲不在中间也不在两端；甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端；甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起；男、女生分别排在一起； 男女相间男女相间 【解析解析】 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的 个人随9668 意排，也就是 个元素全排列的