小升初奥数—平面图形计算

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1、小升初奥数平面图形计算一、相加法：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面 积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面 半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。二、相减法：二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之 差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。三、直接求法：三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右 上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底 2，高 4 的三角形，就可

2、以直接求 面积了。四、重新组合法：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组 合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以 把它拆开使阴影部分分布在正方形的 4 个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。五、辅助线法：五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形 转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中 阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。六、割补法：六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中

3、的另一部分使之成为基本 规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切 割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成 一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先 沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一 个正方形。八、旋转法：八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一 定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如

4、， 欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰 直角三角形的面积.九、对称添补法：九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原 来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿 AB 在原图 下方作关于 AB 为对称轴的对称扇形 ABD.弓形 CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。十、重叠法：十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用 “容斥原理”（SABSASB-

5、SAB）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求 两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.【周长的计算周长的计算】例例 1 1 有 9 个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如下图）的面积是 45 厘米2，求这个大长方形的周长。（第四届小学生数学报邀请赛决赛试题）解析：设每个小长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米。于是有ab=4595；又有：4a=5b。可求得 b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为 6a7b=29（厘米）。例例 2 2 图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四 个如图（3）所示的小长方形，斜线

6、区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多 6 厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛” 决赛试题）解析：图（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图 5.55（2）中画斜线 区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差 2AB。从图（2）的竖直方向看，ABaCD图（2）中大长方形的长是 a2b，宽是 2bCD，所以，（a+2b）-（2bCD）=a-CD=6（厘米）故：图（1）中画斜线区域的周长比图（2）中画斜线区域的周长大，大 12 厘米。【面积的计算面积的计算】例例 1 1 如图 5.56，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB

7、的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，那么三角形 ABC 的面积是_。（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）解析：连结 AE（如下图），则三角形 AEC 的面积是 162-4=4。因为ACF 与AEC 等 高，且面积相等。所以，CF=CE。同理，ABE 的面积是 162-3=5，则 BDBE=35。即 BE=从而，ABC 的面积是 16-（34+2.5）=6.5。 例例 2 2 如图，在等边三角形 ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于 BC，已知阴影部分的面积为 1 平方 厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？（1992 年武汉市小学数学竞赛试题）解析：如下图，连接ABC 各边

8、中点，则ABC 被分成了大小相等的四个小三角形。在DBG 中，再连接各边中点，得出将DBG 又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出ABC 的面积为（12）44=32（平方厘米）。 例例 3 3 三条边长分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形如图 5.60（1），将它的短直 角边对折到斜边上去与斜边相重合如图所示。那么，图中阴影部分（即未被盖住部分）的 面积是_平方厘米。（1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）解析：如上图，设 EC 等于 a 厘米，那么 DE 也为 a 厘米。ABC 的面积等于ABE 的面积加上AEC 的面积。例例 4 4 如图，ABCD 是一个梯

9、形，已知三角形 ABD 的面积是 12 平方厘米，三角形 AOD 的面积 比三角形 BOC 的面积少 12 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是_平方厘米。（广州市 小学数学竞赛试题）解析：可设AOD 的面积为 S1。则，BOC 的面积为 S112。于是有：SABO=SABD-SAOD12-S1，SABC=SABO+SBOC=（12-S1） （S112）=24（平方厘米）。所以，梯形 ABCD 的面积是 24+12=36（平方厘米）。 例例 5 5 梯形 ABCD 被两条对角线分成了四个三角形 S1、S2、S3、S4。已知 S1=2 厘米2，S2=6 厘米2。求梯形 ABCD 的面积。（小学

10、数学奥林匹克通讯赛决赛试题）解析：三角形 S1和 S2都是等高三角形，它们的面积比为 26=13；则：DOOB=13。ADB 和ADC 是同底等高三角形，所以，S1=S3=2 厘米2。三角形 S4和 S3也是等高三角形，其底边之比为 13，所以 S4S3=1所以，梯形 ABCD 的面积为 例例 6 6 正方形边长为 20 厘米（如图 5.63），已知 DD=EE，CE=6 厘米。则阴影部分三角 形的面积最大值是_平方厘米。（海口市小学数学竞赛试题）解析：E点在 BE 段滑动，D点在 DC 段滑动。设 DD长 a 厘米。DC=20-a，EC=a6。又因为 DCEC=（20-a）（a6）=26。运

11、用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于 26），要把这个和分成两 个数，使这两个数的积最大，则当 20-a=a6=13 时，即 a=7=84.5（平方厘米）。 例例 7 7 下图是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘 米？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）解析：如下图，连接 AC，所分成的四个小三角形分别用 S1、S2、S3、S4表示。容易看出 S2和 S3是关于 OC 为对称轴的对称图形。所以 S2=S3。从而不难得出 S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角例例 8 8 一个正方形（如图所示），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出

12、（单位：平方 米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是_。（1992 年全国小学数学奥 林匹克决赛试题）解析：可将四个长方形分别用 A、B、C、D 表示（如上右图），阴影部分是 B 中的一部 分。大正方形的面积为 1 平方米，所以它的边长为 1 米。因为长方形 C 和 D 的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得 C 的米。 例例 9 9 把大的正三角形每边 8 等分，组成图所示的三角形网。如果每个小三角形面积是 1， 那么图中粗线围成的三角形面积是_。（1988 年北京市奥林匹克邀请赛试题）解析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积

13、，也就是小三角形面积的 2 倍。题中，格子面积为 12=2，内部格点数为 12，边上格点数为 4。所以，粗线围成的面积是例例 10 如图所示，求图中阴影部分的面积。解法一解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图 2） ，等腰直 角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20210 厘米【3.14102 10（102） 】2107（平方厘米）1 4答：阴影部分的面积是 107 平方厘米。 解法二解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转 90 度后，阴影部分的 面积就变为从半径为 10 厘米的半圆面积中，减去两直角边为 10 厘

14、米的等腰直角 三角形的面积所得的差。（202）2 （202）2 107（平方厘米）1 21 2答：阴影部分的面积是 107 平方厘米。 例例 11 如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 。解法一解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面 积减去空白部分（a）的面积。如图 2 所示。3.1462 （643.1442 ）16.82（平方厘米）1 41 4解法二解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图 3 所示。把大、小两个扇形面积相加，45 10图 14545 10图 2图 3图 164减去减去a图 2刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长

15、方形的面积。3.1442 +3.1462 4616.28（平方厘米）1 41 4答：阴影部分的面积是 16.82 平方厘米。例例 12 在图中，正方形的边长是 10 厘米，求图中阴影部分的面积。解法一解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图 2 所示） ，再用正 方形的面积减去全部空白部分。空白部分的一半：1010（102）23.1421.5（平方厘米）阴影部分的面积：101021.5257（平方厘米） 解法二解法二：把图中 8 个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图 3 所示） ，而 8 个 扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。（102）23.1421010

16、57（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 57 平方厘米。例例 13 在正方形 ABCD 中，AC6 厘米。求阴影部分的面积。解析：解析：这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看 出，AC 是等腰直角三角形 ACD 的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知， 斜边上的高等于斜边的一半（如图 1 所示） ，我们可以求出等腰直角三角形 ACD 的面积，进而求出正方形 ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然 半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积 公式计算。图 3（1 ）（2 ）加加减减图 1图 2图 3图 1ABCDDCBA既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（62）218（平方厘米） 阴影部分的